2011-湖北卷理-21 解-导数综合

本题导读

本题考查导数在函数单调性与极值中的应用。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 21. (1) 已知函数 $f (x) = ln x - x + 1$ ， $x \in (0, + \infty)$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2) 设 $a_{k}, b_{k}$ ( $k = 1, 2, \dots, n$ ) 均为正数，证明： ① 若 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} ⩽ b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，则 $a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \dots a_{n}^{b_{n}} ⩽ 1$ ； ② 若 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = 1$ ，则 $\frac{1}{n} ⩽ b_{1}^{b_{1}} b_{2}^{b_{2}} \dots b_{n}^{b_{n}} ⩽ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}$ .

🔍【思路分析】

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第 (1) 问：求导 $f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1$ ，确定单调区间并求出最大值，由此得出基础切线不等式 $ln x ⩽ x - 1$ 。

第 (2) 问 ①：对所证乘积式两边取对数，将“乘积”转化为“求和”形式 $\sum b_{k} ln a_{k}$ ；利用 (1) 的结论 $ln a_{k} ⩽ a_{k} - 1$ 进行放缩，结合条件 $\sum a_{k} b_{k} ⩽ \sum b_{k}$ 完成证明。

第 (2) 问 ②：

右边不等式：应用 ① 的结论，通过构造使得乘积形式与 $\sum b_{k}^{2}$ 产生关联；令 $a_{k} = \frac{b _{k}}{\sum b _{i}^{2}}$ ，验证满足 ① 的条件即可得证；

左边不等式：应用 ① 的结论，令 $a_{k} = \frac{1}{n b _{k}}$ ，验证 $\sum a_{k} b_{k} ⩽ 1$ 后直接得出结论。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f (x) = ln x - x + 1$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ 。求导得： $f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$ 。

当 $x \in (0, 1)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x)$ 单调递增；当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 单调递减。所以，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 取得极大值，也是最大值。最大值为 $f (1) = ln 1 - 1 + 1 = 0$ 。

(2) 由 (1) 知，对任意 $x > 0$ ，恒有 $f (x) ⩽ f (1) = 0$ ，即 $ln x ⩽ x - 1$ ，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立。

① 因为 $a_{k} > 0, b_{k} > 0$ ( $k = 1, 2, \dots, n$ )，由 $ln a_{k} ⩽ a_{k} - 1$ ，两边同乘以正数 $b_{k}$ ，得： $b_{k} ln a_{k} ⩽ b_{k} (a_{k} - 1) = a_{k} b_{k} - b_{k}$ 。将上述 $n$ 个不等式累加，得： $\sum_{k = 1}^{n} b_{k} ln a_{k} ⩽ \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} b_{k} - b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} - \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ 。

由已知条件 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ⩽ \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ ，得 $\sum_{k = 1}^{n} b_{k} ln a_{k} ⩽ 0$ 。根据对数运算法则： $\sum_{k = 1}^{n} b_{k} ln a_{k} = ln (a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \dots a_{n}^{b_{n}}) ⩽ 0$ 。因为自然对数函数在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且 $ln 1 = 0$ ，所以： $a_{1}^{b_{1}} a_{2}^{b_{2}} \dots a_{n}^{b_{n}} ⩽ 1$ 。

② 已知 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = 1$ 。先证右边： $b_{1}^{b_{1}} b_{2}^{b_{2}} \dots b_{n}^{b_{n}} ⩽ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}$ 。记 $S = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}$ 。因为 $b_{k} > 0$ ，所以 $S > 0$ 。令 $a_{k} = \frac{b _{k}}{S} = \frac{b _{k}}{\sum _{i = 1}^{n} b _{i}^{2}}$ ( $k = 1, 2, \dots, n$ )，则 $a_{k} > 0$ 。此时： $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{b _{k}}{S} \cdot b_{k}) = \frac{1}{S} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2} = \frac{S}{S} = 1$ 。而 $\sum_{k = 1}^{n} b_{k} = 1$ ，故 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ 成立，满足 ① 的条件。根据 ① 的结论： $\prod_{k = 1}^{n} a_{k}^{b_{k}} = \prod_{k = 1}^{n} (\frac{b _{k}}{S})^{b_{k}} ⩽ 1$ 。由指数和对数性质： $\prod_{k = 1}^{n} (\frac{b _{k}}{S})^{b_{k}} = \frac{\prod _{k = 1}^{n} b _{k}^{b_{k}}}{S ^{\sum_{k = 1}^{n} b_{k}}} = \frac{b _{1}^{b_{1}} b _{2}^{b_{2}} \dots b _{n}^{b_{n}}}{S ^{1}} ⩽ 1$ 。所以： $b_{1}^{b_{1}} b_{2}^{b_{2}} \dots b_{n}^{b_{n}} ⩽ S = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}$ 。

再证左边： $\frac{1}{n} ⩽ b_{1}^{b_{1}} b_{2}^{b_{2}} \dots b_{n}^{b_{n}}$ 。令 $a_{k} = \frac{1}{n b _{k}}$ ( $k = 1, 2, \dots, n$ )，则 $a_{k} > 0$ 。此时： $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{n b _{k}} \cdot b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n} = n \times \frac{1}{n} = 1$ 。又已知 $\sum_{k = 1}^{n} b_{k} = 1$ ，所以 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ 成立，满足 ① 的条件。根据 ① 的结论： $\prod_{k = 1}^{n} a_{k}^{b_{k}} = \prod_{k = 1}^{n} (\frac{1}{n b _{k}})^{b_{k}} ⩽ 1$ 。整理得： $\prod_{k = 1}^{n} (\frac{1}{n b _{k}})^{b_{k}} = \frac{1}{n ^{\sum_{k = 1}^{n} b_{k}} \cdot \prod _{k = 1}^{n} b _{k}^{b_{k}}} = \frac{1}{n ^{1} \cdot ( b _{1}^{b_{1}} b _{2}^{b_{2}} \dots b _{n}^{b_{n}} )} ⩽ 1$ 。即： $\frac{1}{n} ⩽ b_{1}^{b_{1}} b_{2}^{b_{2}} \dots b_{n}^{b_{n}}$ 。

综合两边证明，不等式： $\frac{1}{n} ⩽ b_{1}^{b_{1}} b_{2}^{b_{2}} \dots b_{n}^{b_{n}} ⩽ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线不等式 $ln x ⩽ x - 1$ 的求导证明、加权对数和的构造性代换。

核心方法：“以题引路”迁移递进法——直接将上一问结论作为定理应用于后一问，通过逆推目标待定构造 $a_{k}$ 。

避坑指南：第 (2) 问 ② 若脱离 ① 的结论盲目使用柯西不等式或 Jensen 不等式极难配凑系数，应敏锐利用形式结构，构造比值型 $a_{k}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自信息论中的相对熵（Kullback-Leibler 散度）非负性定理，以及凸分析中琴生不等式（Jensen’s Inequality）对对数凹函数的应用。

结论推广：若 $\sum_{k = 1}^{n} p_{k} = 1$ ( $p_{k} > 0$ )，对于任意概率分布 $q_{k}$ ，有 $\prod_{k = 1}^{n} (\frac{q _{k}}{p _{k}})^{p_{k}} ⩽ 1 ⟺ \sum p_{k} ln \frac{p _{k}}{q _{k}} ⩾ 0$ （吉布斯不等式 Gibbs’ Inequality）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

20.03 导数研究单调性与极值最值

03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

2010-辽宁卷文-24 解-不等式证明

2014-上海卷文-06 填-基本不等式

2022-乙卷文-23 解-不等式选讲

∑ ( Math )

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