2010-辽宁卷文-24 解-不等式证明

本题导读

考查不等式证明。$a^2+b^2+c^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2⩾p+3q⩾2\sqrt{3pq}⩾6\sqrt{3}$，等号当 $a=b=c=\sqrt[4]{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲） 已知 $a,b,c$ 均为正数，证明：$a^2+b^2+c^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2⩾6\sqrt{3}$，并确定 $a,b,c$ 为何值时，等号成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca=:p$。
2. ${\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2⩾3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=:3q$。
3. 柯西：$pq⩾9$。
4. $p+3q⩾2\sqrt{3pq}⩾6\sqrt{3}$；取等条件 $a=b=c$ 且 $p=3q$，即 $a^4=3$。

✅【答案】

点击查看答案

证明见解析；等号当且仅当 $a=b=c=\sqrt[4]{3}$ 时成立

✍【详细解析】

Abstract

设 $p=ab+bc+ca$，$q=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$。 第一步：由 $a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca$（作差配平方即得）， $a^2+b^2+c^2⩾p.$ 第二步：由 $(x+y+z{)}^2⩾3(xy+yz+zx)$，取 $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$， ${\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2⩾3q.$ 第三步：由柯西不等式， $pq=(ab+bc+ca)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)⩾(1+1+1{)}^2=9.$ 合起来： $a^2+b^2+c^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2⩾p+3q⩾2\sqrt{3pq}⩾2\sqrt{27}=6\sqrt{3}.$ 取等条件：第一步与柯西取等要求 $a=b=c$； 设 $a=b=c=t>0$，则 $p=3t^2$，$q=\frac{3}{t^2}$； $p+3q⩾2\sqrt{3pq}$ 取等要求 $p=3q$，即 $3t^2=\frac{9}{t^2}\Rightarrow t^4=3\Rightarrow t=\sqrt[4]{3}.$ 所以当且仅当 $a=b=c=\sqrt[4]{3}$ 时等号成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式与柯西不等式证明

核心方法：分两段放缩（平方和 $⩾p$、和平方 $⩾3q$）再合并

避坑指南：取等条件要三处同时满足：$a=b=c$ 且 $p=3q$；$t^4=3$ 开四次方是 $\sqrt[4]{3}$ 不是 $\sqrt{3}$；柯西一步 $(ab+bc+ca)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)⩾9$ 不要漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ca$ 由三组 $\frac{(x-y{)}^2}{2}⩾0$ 相加得到。

结论推广：$(x+y+z{)}^2⩾3(xy+yz+zx)$ 等价于上一条，是平方展开的常用估计。

方法推广：不等式证明题最后必须交代取等条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式