2011-湖南卷文-02 单-复数相等

本题导读

本题考查复数乘法，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 若 $a$，$b\in \mathbf{R}$，$i$ 为虚数单位，且 $(a+i)i=b+i$，则 ()

A. $a=1$，$b=1$　　B. $a=-1$，$b=1$　　C. $a=1$，$b=-1$　　D. $a=-1$，$b=-1$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：展开 $(a+i)i$
2. 步骤2：由实部、虚部分别相等列出方程组

✅【答案】

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C$a=1$，$b=-1$

✍【详细解析】

Abstract

$(a+i)i=ai+i^2=-1+ai$。

由复数相等的充要条件（实部、虚部分别相等）：$-1+ai=b+i$ 给出

$\{\begin{array}{l}b=-1,\\ a=1.\end{array}$

故 $a=1$，$b=-1$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘法运算；复数相等的条件

核心方法：先化简左边为 $x+yi$ 标准形，再实虚对齐

避坑指南：$i^2=-1$ 别漏写——左边展开后的实部是 $-1$ 而不是 $0$；等号两边必须都化成 $x+yi$（右边 $b+i$ 中 $b$ 是实部、$1$ 是虚部）再比对，顺序颠倒会错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数相等题与 2011-福建卷文-02、2012-新课标卷文-02、2011-浙江卷文-02 同族。

结论推广：推广：$x_1+y_{1}i=x_2+y_{2}i$（$x_1$，$y_1$，$x_2$，$y_2\in \mathbf{R}$）$⟺x_1=x_2$ 且 $y_1=y_2$，这是复数方程转实数方程组的唯一桥梁。

方法推广：复数小题：一切”含参复数等式”都先标准化再实虚对齐，两个未知数恰好两条方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-02 单-复数幂运算
• 2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算
• 2011-浙江卷文-02 单-复数乘法运算