2011-湖南卷文-12 填-奇函数求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及复合代数式求值。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 已知 $f(x)$ 为奇函数，$g(x)=f(x)+9$，$g(-2)=3$，则 $f(2)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $g(-2)=3$ 先解出 $f(-2)$
2. 步骤2：再用奇函数翻转

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

$g(-2)=f(-2)+9=3$，故 $f(-2)=-6$。

$f(x)$ 为奇函数，$f(-x)=-f(x)$，故 $f(2)=-f(-2)=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定义 $f(-x)=-f(x)$；由复合条件逐层求值

核心方法：从已知等式出发先求 $f(-2)$，再用奇偶性搬到 $f(2)$

避坑指南：$g(x)=f(x)+9$ 本身不是奇函数（加常数破坏奇性），别把 $g(-2)=-g(2)$ 当条件用；求的是 $f(2)$ 而不是 $g(2)=15$，看错所求也是常见丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数求值题与 2013-山东卷文-03、2013-重庆卷文-09、2012-新课标卷文-16 同族。

结论推广：推广：$g(x)=f(x)+c$（$f$ 奇）满足 $g(-x)+g(x)=2c$，即 $g$ 的图象关于点 $(0,c)$ 中心对称；本题 $g(-2)+g(2)=18$。

方法推广：奇偶求值题：先在已知点解内层函数值，再对称翻转；常数平移后的函数对称中心随之平移，可用于验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-03 单-奇函数求值
• 2013-重庆卷文-09 单-奇函数求值
• 2012-新课标卷文-16 填-奇函数最值之和