2013-山东卷文-03 单-奇函数求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数求值。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2+\frac{1}{x}$，则 $f(-1)=$()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f$ 为奇函数 → $f(-1)=-f(1)$。
2. $f(1)=1^2+\frac{1}{1}=2$ → $f(-1)=-2$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-1)=-f(1).$ 又当 $x>0$ 时 $f(x)=x^2+\frac{1}{x}$，故 $f(1)=1^2+\frac{1}{1}=2,$ 所以 $f(-1)=-2.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数求值

核心方法：$f(-1)=-f(1)=-\left(1^2+\frac{1}{1}\right)=-2$——奇函数把负半轴拉回正半轴

避坑指南：$-1$ 不在已知解析式的范围（$x>0$）内，必须先用奇性转化 $f(-1)=-f(1)$ 再代入；直接把 $x=-1$ 塞进 $x^2+\frac{1}{x}$ 会得到 $0$，掉进出定义域的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的奇偶性与求值（全国卷常考小题）。

结论推广：奇函数：$f(-x)=-f(x)$；$f(-1)=-f(1)$。

方法推广：已知一段解析式求另一段函数值：先用奇偶性（或周期性）把自变量拉进已知区间，再代入计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-05 单-奇函数
• 2014-江西卷文-04 单-分段函数