2011-湖南卷文-18 解-频率分布与概率

本题导读

本题考查频率分布表，以及频率与概率的关系。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 $Y$（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量 $X$（单位：毫米）有关，据统计，当 $X=70$ 时，$Y=460$；$X$ 每增加 $10$，$Y$ 增加 $5$. 已知近 $20$ 年 $X$ 的值为：

$140$，$110$，$160$，$70$，$200$，$160$，$140$，$160$，$220$，$200$，$110$，$160$，$160$，$200$，$140$，$110$，$160$，$220$，$140$，$160$.

(1) 完成如下的频率分布表：

近 $20$ 年六月份降雨量频率分布表

降雨量	$70$	$110$	$140$	$160$	$200$	$220$
频率	$\frac{1}{20}$		$\frac{4}{20}$			$\frac{2}{20}$

(2) 假定今年六月份的降雨量与近 $20$ 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 $490$（万千瓦时）或超过 $530$（万千瓦时）的概率.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 数出各降雨量的频数除以 $20$
2. 步骤2：(2) 由 $Y=460+\frac{X-70}{2}$ 转化不等式
3. 步骤3：再用频率定概率

✅【答案】

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(1) 待填的三个频率依次为 $\frac{3}{20}$，$\frac{7}{20}$，$\frac{3}{20}$

(2) $\frac{3}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 逐一清点：$70$ 出现 $1$ 次，$110$ 出现 $3$ 次，$140$ 出现 $4$ 次，$160$ 出现 $7$ 次，$200$ 出现 $3$ 次，$220$ 出现 $2$ 次，合计 $1+3+4+7+3+2=20$。

故待填频率：$110$ 对应 $\frac{3}{20}$，$160$ 对应 $\frac{7}{20}$，$200$ 对应 $\frac{3}{20}$（六个频率之和恰为 $1$，可作验算）。

(2) 由 $X=70$ 时 $Y=460$、$X$ 每增 $10$ 时 $Y$ 增 $5$，得 $Y=460+\frac{X-70}{2}$。

$Y<490⟺460+\frac{X-70}{2}<490⟺X<130$，对应的降雨量为 $70$ 或 $110$，概率为 $\frac{1}{20}+\frac{3}{20}=\frac{4}{20}$。

$Y>530⟺460+\frac{X-70}{2}>530⟺X>210$，对应的降雨量为 $220$，概率为 $\frac{2}{20}$。

两事件互斥，故所求概率为 $\frac{4}{20}+\frac{2}{20}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频数统计与频率分布表；由发电量与降雨量的线性关系转化不等式；互斥事件加法公式

核心方法：先补全频数表（用总和 $20$ 验算），再把”$Y$ 低于 / 超过”翻译成 $X$ 的范围，查表求概率

避坑指南：$Y$ 与 $X$ 是线性关系：$X$ 每增 $10$、$Y$ 增 $5$，即 $Y=460+\frac{X-70}{2}$——写成 $Y=460+\frac{X-70}{10}$（漏乘 $5$）会使范围算错；“低于 $490$ 或超过 $530$“是两个互斥事件求和，别只算一头；频数清点后务必用总频数 $20$ 校验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布与概率题与 2011-福建卷文-19、2012-湖南卷文-17、2011-新课标卷文-19 同族。

结论推广：推广：“频率视为概率”的模型中，线性换算 $Y=Y_0+k(X-X_0)$ 后事件关于 $Y$ 的概率等于关于 $X$ 的同向概率；互斥事件的并概率直接相加，这是统计与概率综合题的基本骨架。

方法推广：统计概率大题：先列表（频数 → 频率，总和验 $1$），再把目标事件翻译回自变量范围，最后按互斥 / 独立选对公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-19 解-频率分布表与古典概型
• 2012-湖南卷文-17 解-统计表与概率估计
• 2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计