2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计

本题导读

本题考查用频率估计概率，以及频数分布表。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 $102$ 的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 $100$ 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果：

A 配方的频数分布表

指标值分组	$[90,94)$	$[94,98)$	$[98,102)$	$[102,106)$	$[106,110]$
频数	$8$	$20$	$42$	$22$	$8$

B 配方的频数分布表

指标值分组	$[90,94)$	$[94,98)$	$[98,102)$	$[102,106)$	$[106,110]$
频数	$4$	$12$	$42$	$32$	$10$

(1) 分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

(2) 已知用 B 配方生产一件产品的利润 $y$（单位：元）与其质量指标值 $t$ 的关系式为 $y=\{\begin{array}{ll}-2,& t<94,\\ 2,& 94⩽t<102,\\ 4,& t⩾102.\end{array}$ 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 $0$ 的概率，并求用 B 配方生产的上述 $100$ 件产品平均一件的利润.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 优质品率 = $\frac{[102,110]\text{频数和}}{100}$
2. 步骤2：(2) 利润 $>0$ 即 $t⩾94$
3. 步骤3：平均利润按分段利润 × 频数加权

✅【答案】

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(1) A 配方优质品率约 $30\%$，B 配方约 $42\%$

(2) 利润大于 $0$ 的概率约为 $0.96$，平均一件利润 $2.68$ 元

✍【详细解析】

Abstract

（1）A 配方生产的产品中，质量指标值不小于 $102$ 的有 $22+8=30$ 件，所以优质品率估计为 $\frac{30}{100}=30\%$。B 配方中相应的产品有 $32+10=42$ 件，所以优质品率估计为 $\frac{42}{100}=42\%$。

（2）B 配方产品的利润大于 $0$ 当且仅当 $t⩾94$，相应的产品数为 $12+42+32+10=96$，所以所求概率估计为 $\frac{96}{100}=0.96$。

这 $100$ 件产品的总利润为 $(-2)\times 4+2\times (12+42)+4\times (32+10)=-8+108+168=268$，故平均一件的利润为 $\frac{268}{100}=2.68$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频数分布表读数；优质品率的频率估计；分段计价下的加权平均

核心方法：按分组的频数累加 → 频率估计概率 → 平均利润 = 总利润 ÷ 件数（分段利润加权）

避坑指南：利润 $>0$ 对应 $t⩾94$（含 $[94,98)$、$[98,102)$ 两组）；把 $[90,94)$ 的 $-2$ 元漏乘或把 $[102,106)$ 与 $[106,110]$ 的利润算成不同值都会错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频数分布表应用题，与 2012 年安徽卷文第 18 题、2013 年湖南卷文第 18 题同族。

结论推广：平均利润 $=(-2)\times P(t<94)+2\times P(94⩽t<102)+4\times P(t⩾102)$，即期望的分段加权形式；频率分布表的估计题都遵循”区间并 → 频数和 → 频率”三步。

方法推广：统计应用题先把题目条件翻译成”区间 → 频数 → 利润”对照表，再分别累加，最后核对各组频数之和是否等于 $100$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-18 解-频率分布表与总体估计
• 2012-湖北卷文-02 单-频率分布表
• 2013-湖南卷文-18 解-频数均值概率