2011-湖南卷文-22 解-导数极值点与斜率

本题导读

本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，以及极值点与韦达定理。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a\ln x$（$a\in \mathbf{R}$）.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

(2) 若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$. 问：是否存在 $a$，使得 $k=2-a^2$？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 分子 $x^2-ax+1$ 按判别式与根的符号分段讨论
2. 步骤2：(2) 用 $x_1{x}_2=1$ 把 $k$ 化为 $2-a\cdot \frac{\ln x_2-\ln x_1}{x_2-x_1}$
3. 步骤3：代换 $x_2=t$ 化为 $t^4-1-2t^2\ln t$ 的符号判断

✅【答案】

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(1) $a⩽2$ 时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；$a>2$ 时 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 与 $(x_2,+\infty )$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，其中 $x_{1,2}=\frac{a\mp \sqrt{a^2-4}}{2}$

(2) 不存在满足条件的 $a$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，$f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-ax+1}{x^2}$，分子记为 $g(x)=x^2-ax+1$。

当 $\Delta =a^2-4⩽0$（即 $-2⩽a⩽2$）时，$g(x)⩾0$ 恒成立（$a=\pm 2$ 时 $g$ 有零点但不变号），$f^{\prime }(x)⩾0$，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

当 $a<-2$ 时，$g$ 的两根 $\frac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}$ 均为负数，$x>0$ 时 $g(x)>0$，$f$ 仍在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

当 $a>2$ 时，$g$ 的两根 $x_1=\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$，$x_2=\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$ 均为正（$x_1{x}_2=1$，$x_1<1<x_2$），$f^{\prime }(x)$ 在 $(0,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 上为正，在 $(x_1,x_2)$ 上为负。

综上：$a⩽2$ 时 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增；$a>2$ 时 $f$ 在 $(0,x_1)$ 与 $(x_2,+\infty )$ 单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 单调递减。

(2) 有两个极值点需 $a>2$，$x_1{x}_2=1$，$x_1+x_2=a$，不妨设 $x_1<x_2$，记 $x_2=t>1$，则 $x_1=\frac{1}{t}$，$a=t+\frac{1}{t}$。

$f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)-\left(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\right)-a(\ln x_2-\ln x_1)$。

由 $x_1{x}_2=1$：$\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=x_1-x_2=-(x_2-x_1)$，故 $f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)-a\ln \frac{x_2}{x_1}$。

$k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=2-a\cdot \frac{\ln (x_2/x_1)}{x_2-x_1}=2-a\cdot \frac{2\ln t}{t-\frac{1}{t}}$。

若 $k=2-a^2$，则 $a^2=a\cdot \frac{2\ln t}{t-\frac{1}{t}}$，$a>2>0$，约去 $a$ 并代入 $a=t+\frac{1}{t}$：

$t+\frac{1}{t}=\frac{2\ln t}{t-\frac{1}{t}}$，即 $\left(t+\frac{1}{t}\right)\left(t-\frac{1}{t}\right)=2\ln t$，也就是 $t^2-\frac{1}{t^2}=2\ln t$。

令 $h(t)=t^2-\frac{1}{t^2}-2\ln t$（$t>1$），则 $h(1)=0$，且 $h^{\prime }(t)=2t+\frac{2}{t^3}-\frac{2}{t}=\frac{2(t^4-t^2+1)}{t^3}$。

$t^4-t^2+1$ 的判别式为 $1-4<0$ 且开口向上，恒正，故 $h^{\prime }(t)>0$（$t>1$），$h(t)>h(1)=0$，即 $t^2-\frac{1}{t^2}>2\ln t$ 对一切 $t>1$ 成立，等式 $t^2-\frac{1}{t^2}=2\ln t$ 无解。

故不存在满足条件的 $a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参导数的分类讨论（判别式与根的位置）；极值点满足韦达定理；斜率两点式利用 $x_1{x}_2=1$ 化简；构造 $h(t)$ 用单调性证不等式

核心方法：(1) 按分子二次式的判别式与根的符号分三段；(2) 全程用 $x_1{x}_2=1$ 降元：先化 $k$，再把 $a$ 换成 $t+\frac{1}{t}$，最后构造一元函数证矛盾

避坑指南：第 (1) 问 $a<-2$ 这一段容易漏：判别式虽大于零，但两根都在 $y$ 轴左侧，$(0,+\infty )$ 上仍单调递增；第 (2) 问原卷印作 $k=2-a$，答案合集印 $k=2-a^2$，以 $k=2-a^2$ 为准（若按 $k=2-a$ 则 $2\ln t=a\left(t-\frac{1}{t}\right)$ 有解，与官方结论”不存在”矛盾，可据此反推题意为 $a^2$）；$\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{x_1-x_2}{x_1{x}_2}=-(x_2-x_1)$ 这一步全靠 $x_1{x}_2=1$，是整个化简的枢纽；$h^{\prime }(t)$ 的分子 $t^4-t^2+1$ 恒正由判别式为负保证，别试图因式分解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数极值点综合题与 2012-湖南卷文-22、2013-新课标I卷文-20、2014-重庆卷文-19 同族。

结论推广：推广：$t^2-\frac{1}{t^2}>2\ln t$（$t>1$）是对数平均不等式 $\frac{\ln x_2-\ln x_1}{x_2-x_1}<\frac{1}{\sqrt{x_1{x}_2}}$ 的变形（此处 $\sqrt{x_1{x}_2}=1$），即两极值点间割线斜率中的”对数平均因子”严格小于几何平均的倒数，正是 $k=2-a^2$ 无法成立的根源。

方法推广：极值点双参问题：$x_1{x}_2=1$（或对称式）是降元钥匙——所有 $x_1$，$x_2$ 的对称式都可换成单变量 $t$；构造 $h(t)$ 后用 $h^{\prime }$ 定号，注意 $h$ 在端点的值常为零，用单调性推出严格不等号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-22 解-导数恒成立与中值定理
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值
• 2014-重庆卷文-19 解-导数单调性与极值