2011-湖南卷理-04 单-概率

本题导读

本题考查独立性检验，以及卡方统计量的临界值及其统计意义。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由 $K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 算得， $K^2=\frac{110\times (40\times 30-20\times 20{)}^2}{60\times 50\times 60\times 50}\approx 7.8$.

附表：

$P(K^2⩾k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是 ()

A. 在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将计算得出的统计量观测值 $K^2\approx 7.8$ 与临界值表中的分位点 $k$ 进行大小比较。
2. $6.635<7.8<10.828$，对应显著性水平为 $P(K^2⩾6.635)=0.010=1\%$。
3. 统计推断结论解读：有 $1-1\%=99\%$ 以上的把握认为“两个变量有关”，或者说“在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，认为两个变量有关”。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由题意，卡方统计量计算值 $K^2\approx 7.8$。 查附表可知：$6.635<7.8<10.828$。 因为 $K^2>6.635$，且 $P(K^2⩾6.635)=0.010=1\%$， 所以有 $1-0.010=99\%$ 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”（即在犯错误的概率不超过 $1\%$ 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”）。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立性检验的假设检验逻辑与临界值对应概率的现实表述。
• 核心方法：定位 $K^2$ 所在的区间范围：若 $K^2>k_{\alpha }$，则有 $1-\alpha$ 的把握认为有关。
• 避坑指南：
• 检验的原假设 $H_0$ 为“变量之间无关”，当 $K^2$ 超过临界值时拒绝 $H_0$，得出“有关”的结论，不可选“无关”选项；
• 把握程度为 $1-P$，对应 $P=0.01$ 时把握为 $99\%$，对应 $P=0.001$ 时把握为 $99.9\%$（犯错概率不超过 $0.1\%$），本题未达到 $10.828$，故犯错概率不能缩小到 $0.1\%$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自数理统计中的皮尔逊卡方拟合优度与独立性检验（Pearson’s Chi-squared test）。
• 结论推广：在双向列联表中，随着自由度与样本量增加，卡方统计量极限分布服从自由度为 $(r-1)(c-1)$ 的 ${\chi }^2$ 分布（本题自由度为 $(2-1)(2-1)=1$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

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• 2022-新高考I卷-20 解-独立性检验
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