2011-湖南卷理-05 单-椭圆

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的渐近线方程。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ ($a>0$) 的渐近线方程为 $3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为 ()

A. 4　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 双曲线焦点在 $x$ 轴上，其实半轴长为 $a$，虚半轴长为 $b=3$。
2. 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{3}{a}x$，即 $3x\pm ay=0$。
3. 对比已知渐近线方程 $3x\pm 2y=0$，直接确定 $a$ 的值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ ($a>0$)，焦点在 $x$ 轴上， 其渐近线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=0$，即 $y=\pm \frac{3}{a}x$。 整理得：$3x\pm ay=0$。 与已知渐近线方程 $3x\pm 2y=0$ 对比系数，得： $a=2$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦点在 $x$ 轴的双曲线渐近线方程公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
• 核心方法：将标准方程右端常数项“1”替换为“0”即可快速得出渐近线方程。
• 避坑指南：注意焦点所在坐标轴方向，防止将斜率误写为 $\pm \frac{a}{b}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：圆锥曲线渐近线基础性质的直接考查。
• 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与共轭双曲线 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ 具有完全相同的渐近线 $bx\pm ay=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程