2013-广东卷理-07 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 已知中心在原点的双曲线 $C$ 的右焦点为 $F(3,0)$，离心率等于 $\frac{3}{2}$，则 $C$ 的方程是()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{\sqrt{5}}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

C. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\sqrt{5}}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定焦点位置与开口方向：右焦点 $F(3,0)$ 在 $x$ 轴上，说明双曲线开口向左右，标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
2. 提取基本参数：
   • 由焦点坐标得半焦距 $c=3$。
   • 由离心率定义 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$，可计算出实半轴长 $a$。
3. 计算 $b^2$：利用双曲线中的几何性质 $c^2=a^2+b^2$（即 $b^2=c^2-a^2$）。
4. 写出方程：将 $a^2$ 和 $b^2$ 代入标准方程模板。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析已知条件 因为右焦点为 $F(3,0)$，所以双曲线焦点在 $x$ 轴上，中心在原点。 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。 由焦点坐标可知，半焦距 $c=3$。

第二步：计算参数 $a$ 已知离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。 将 $c=3$ 代入上式得：$\frac{3}{a}=\frac{3}{2}$。 解得 $a=2$，则 $a^2=4$。

第三步：计算参数 $b^2$ 在双曲线中，各参数满足关系式 $c^2=a^2+b^2$。 所以 $b^2=c^2-a^2=3^2-2^2=9-4=5$。

第四步：得出最终方程 将 $a^2=4$ 和 $b^2=5$ 代入标准方程得： $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：待定系数法。通过基本几何量（$a,b,c,e$）中的两个建立方程组，求出所需参数。

避坑指南：- 确认焦点所在的坐标轴，以决定方程中 $x^2$ 和 $y^2$ 的正负号顺序。 - 注意选项中分母的开方情况，双曲线标准方程分母位通常是 $a^2$ 和 $b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：给出渐近线方程和焦点位置，亦可反推 $a$ 与 $b$ 的比例关系并求出方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-09 单-双曲线方程
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线