2011-湖南卷理-13 填-程序框图

本题导读

本题考查程序框图与循环结构，以及样本方差公式的代数计算。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 若执行如图所示的框图，输入 $x_1=1,x_2=2,x_3=3,\overline{x}=2$，则输出的数等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别程序框图对应的算法功能（通常为计算样本方差 $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$）。
2. 计算累加平方差：$(1-2{)}^2+(2-2{)}^2+(3-2{)}^2=1+0+1=2$。
3. 结合框图末端除以样本容量 $n=3$，求得最终输出值。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

根据高中数学标准程序框图模型，该框图的功能为计算样本数据 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的方差 $s^2$。 算法核心累加过程为： $S={\sum }_{i=1}^3(x_i-\overline{x}{)}^2=(1-2{)}^2+(2-2{)}^2+(3-2{)}^2$ $=(-1{)}^2+0^2+1^2=1+0+1=2$。

框图退出循环后执行除法计算平均离差平方和（方差）： 输出值为 $\frac{S}{3}=\frac{2}{3}$。

故填：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：循环结构的计数变量与累加变量、样本方差公式的程序化表达。
• 核心方法：识破程序框图的统计本质，直接应用公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2$ 简缩计算过程。
• 避坑指南：必须注意最后一步输出的是平方差之和还是方差（是否除以 $3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：统计量与算法初步的综合交叉题，体现高中算法初步对统计公式的流程图呈现。
• 结论推广：该框图若将最后除法改为 $\sqrt{\frac{S}{n}}$，则输出为标准差。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-14 填-程序框图循环输出
• 2008-广东卷文-13 填-程序框图整除输出
• 2009-山东卷文-15 填-程序框图