2011-湖南卷理-14 填-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及平面向量数量积的运算法则。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 在边长为 1 的正三角形 $ABC$ 中，设 $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CE}$，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 选取 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 作为一组基底，已知 $|\overrightarrow{AB}|=1$，$|\overrightarrow{AC}|=1$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times 1\times \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。
2. 几何关系转化：$D$ 为 $BC$ 的中点，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$；$E$ 是 $CA$ 上靠近 $C$ 的三等分点，即 $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，进而表示出 $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。
3. 将 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{BE}$ 进行数量积展开，代入基向量模长与点积计算。

✅【答案】

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$-\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 为基底。 在边长为 1 的正三角形 $ABC$ 中： $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=1$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times 1\times \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。

由 $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$ 知，$D$ 为 $BC$ 的中点，所以： $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。 由 $\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CE}$ 知，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}⟹\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$。 所以： $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。

计算数量积： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$ $=\frac{1}{2}\left[-{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{2}{3}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right]$ $=\frac{1}{2}\left[-1+\frac{2}{3}(1)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\right]$ $=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right]=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$。

故填：$-\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量基本定理、向量点乘分配律。
• 核心方法：选择夹角与长度已知的两边为基底进行代数展开。
• 避坑指南：注意 $\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CE}$ 的方向，点 $E$ 分 $\overrightarrow{CA}$ 的比例关系，防止将 $\overrightarrow{AE}$ 误算为 $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的平面向量平面几何载体题，考查基底转化。
• 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 $D$ 分 $BC$ 比为 $\lambda$，$E$ 分 $CA$ 比为 $\mu$，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}$ 均可表示为边长与夹角的线性组合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算
• 2008-江西卷文-16 填-正六边形向量数量积