2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算

本题导读

考查新定义向量运算。按 $a\odot b=mq-np$ 验证，交换律不成立（$a\odot b\ne b\odot a$），选 B。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 定义平面向量之间的一种运算"$\odot$"如下：对任意的 $a=(m,n)$，$b=(p,q)$，令 $a\odot b=mq-np$.下面说法错误的是()

A. 若 $a$ 与 $b$ 共线，则 $a\odot b=0$　　　　B. $a\odot b=b\odot a$

C. 对任意的 $\lambda \in \mathbf{R}$，有 $(\lambda a)\odot b=\lambda (a\odot b)$　　D. $(a\odot b{)}^2+(a\cdot b{)}^2=|a{|}^2|b{|}^2$

🔍【思路分析】

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1. $a\odot b=mq-np$，这恰是 $a$、$b$ 张成平行四边形的有向面积的 $2$ 倍，即 $|a||b|\sin \theta$。
2. A：$a$、$b$ 共线时 $\sin \theta =0$，$a\odot b=0$，对。
3. B：$b\odot a=pn-qm=-(mq-np)=-a\odot b$，一般 $a\odot b\ne b\odot a$，错。
4. C：$(\lambda a)\odot b=(\lambda m)q-(\lambda n)p=\lambda (mq-np)=\lambda (a\odot b)$，对。
5. D：$a\odot b=mq-np=|a||b|\sin \theta$，$a\cdot b=mp+nq=|a||b|\cos \theta$，故 $(a\odot b{)}^2+(a\cdot b{)}^2=|a{|}^2|b{|}^2$，对。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $a=(m,n)$，$b=(p,q)$，则 $a\odot b=mq-np$. 这一运算实为 $a$、$b$ 张成平行四边形的有向面积，即 $a\odot b=|a||b|\sin \theta$（$\theta$ 为 $a$ 到 $b$ 的有向角）. A：若 $a$ 与 $b$ 共线，则 $\theta =0$ 或 $\pi$，$\sin \theta =0$，$a\odot b=0$，A 正确. B：$b\odot a=pn-qm=-(mq-np)=-a\odot b$，除非 $a\odot b=0$ 否则不等，故 $a\odot b=b\odot a$ 一般不成立，B 错误. C：对任意 $\lambda \in \mathbf{R}$， $(\lambda a)\odot b=(\lambda m)q-(\lambda n)p=\lambda (mq-np)=\lambda (a\odot b),$ C 正确. D：$a\odot b=mq-np$，$a\cdot b=mp+nq$，且 $|a{|}^2=m^2+n^2$，$|b{|}^2=p^2+q^2$，恒等式 $(mq-np{)}^2+(mp+nq{)}^2=(m^2+n^2)(p^2+q^2)$ 是拉格朗日恒等式，故 D 正确. 综上说法错误的是 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的新定义运算

核心方法：按 $a\odot b=mq-np$ 逐项验证运算律，识别这是平行四边形有向面积

避坑指南：$a\odot b=mq-np$ 是 $|a||b|\sin \theta$，交换次序反号，故 $a\odot b=b\odot a$ 一般不成立；别把它当数量积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义运算题考查对运算律的逐一检验能力。

结论推广：$a\odot b=mq-np$ 满足线性、与数量积满足 $(a\odot b{)}^2+(a\cdot b{)}^2=|a{|}^2|b{|}^2$，但不满足交换律。

方法推广：新定义题先算清定义的本质（这里是行列式/有向面积），再逐个验证律，正反例结合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算
• 2009-新课标卷文-12 单-min新定义最值
• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2012-广东卷文-10 单-向量新定义