2011-福建卷文-19 解-频率分布表与古典概型

本题导读

本题考查频率分布表，以及古典概型。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 $X$ 依次为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$.现从一批该日用品中随机抽取 $20$ 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f$	$a$	$0.2$	$0.45$	$b$	$c$

(1)若所抽取的 $20$ 件日用品中，等级系数为 $4$ 的恰有 $3$ 件，等级系数为 $5$ 的恰有 $2$ 件，求 $a$，$b$，$c$ 的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为 $4$ 的 $3$ 件日用品记为 $x_1$，$x_2$，$x_3$，等级系数为 $5$ 的 $2$ 件日用品记为 $y_1$，$y_2$.现从 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$y_1$，$y_2$ 这 $5$ 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：频率和为 $1$ 定 $a$
2. 步骤2：件数比求 $b$
3. 步骤3：$c$
4. 步骤4：列举 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 个基本事件数出相等等级

✅【答案】

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(1)$a=0.1$，$b=0.15$，$c=0.1$

(2)$P=\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）等级系数为 $4$ 的频率 $b=\frac{3}{20}=0.15$，等级系数为 $5$ 的频率 $c=\frac{2}{20}=0.1$。

各频率之和为 $1$：$a+0.2+0.45+0.15+0.1=1$，解得 $a=0.1$。

（即等级系数为 $1$ 的有 $0.1\times 20=2$ 件，等级系数为 $2$ 的 $4$ 件，等级系数为 $3$ 的 $9$ 件，合计 $2+4+9+3+2=20$ 件，吻合。）

（2）从 $5$ 件中任取两件，所有可能的结果为：

$(x_1,x_2)$，$(x_1,x_3)$，$(x_1,y_1)$，$(x_1,y_2)$，$(x_2,x_3)$，$(x_2,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_1)$，$(x_3,y_2)$，$(y_1,y_2)$，共 $10$ 种。

其中两件等级系数相等（同为 $4$ 或同为 $5$）的结果为：$(x_1,x_2)$，$(x_1,x_3)$，$(x_2,x_3)$，$(y_1,y_2)$，共 $4$ 种。

由古典概型，$P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率的性质（和为 $1$）；古典概型列举

核心方法：频率表：先由已知件数换算频率，再用”频率和为 $1$“收口；古典概型按序列举防重防漏

避坑指南：（1）中 $a$ 由频率和为 $1$ 求出，别拿件数当频率；部分资料将 $a$ 印作 $0.35$、概率印作 $\frac{3}{10}$，均与”频率和为 $1$""$5$ 选 $2$ 共 $10$ 种”矛盾，系笔误；（2）列举时先固定 $x_1$，再 $x_2$，$x_3$，最后 $y_1$，$y_2$，保证不重不漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率表与古典概型综合题与 2012-安徽卷文-18、2012-天津卷文-15、2013-广东卷文-17 同族。

结论推广：推广：$n$ 件中恰有 $r$ 件同类、$n-r$ 件另一类，任取两件等级相等的概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_r^2+{\mathrm{C}}_{n-r}^2}{{\mathrm{C}}_n^2}$；本题 $r=3$，$n=5$，$\frac{3+1}{10}=\frac{2}{5}$。

方法推广：统计 + 概率综合题：统计部分抓”频率和为 $1$、频率 $=\frac{\text{频数}}{\text{总数}}$“两条；概率部分基本事件不超过 $20$ 个时优先列举。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-18 解-频率分布表与总体估计
• 2012-天津卷文-15 解-分层抽样与古典概型
• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型