2012-安徽卷文-18 解-频率分布表与总体估计

本题导读

本题考查频率分布表。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 $1$ mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中随机抽取 $5000$ 件进行检测，结果发现有 $50$ 件不合格品.计算这 $50$ 件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：

| 分组 | 频数 | 频率 | | $[-3,-2)$ | ＿ | $0.10$ | | $[-2,-1)$ | $8$ | ＿ | | $(1,2]$ | ＿ | $0.50$ | | $(2,3]$ | $10$ | ＿ | | $(3,4]$ | ＿ | ＿ | | 合计 | $50$ | $1.00$ |

(1) 将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；

(2) 估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间 $(1,3]$ 内的概率；

(3) 现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 $20$ 件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.

🔍【思路分析】

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(1) 缺少数值依次为 $5$，$0.16$，$25$，$0.20$，$2$，$0.04$；(2) $0.70$；(3) 合格品约 $1980$ 件。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $0.70$；(3) 约 $1980$ 件

✍【详细解析】

Abstract

(1) 频率 $=\frac{频数}{50}$，频数 $=50\times$频率。

$[-3,-2)$：频数 $=50\times 0.10=5$；

$[-2,-1)$：频率 $=\frac{8}{50}=0.16$；

$(1,2]$：频数 $=50\times 0.50=25$；

$(2,3]$：频率 $=\frac{10}{50}=0.20$；

$(3,4]$：频数 $=50-5-8-25-10=2$，频率 $=\frac{2}{50}=0.04$。

（核对：$5+8+25+10+2=50$，$0.10+0.16+0.50+0.20+0.04=1.00$。）

(2) 差落在 $(1,3]$ 内的频率为 $0.50+0.20=0.70$，用频率估计概率，所求概率为 $0.70$。

(3) 抽样中不合格品占 $\frac{50}{5000}=1\%$，故该批次产品总数约为 $20÷1\%=2000$ 件，

合格品件数约为 $2000-20=1980$ 件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频数、频率、样本容量三者的换算；用频率估计概率；用样本不合格率估计总体

核心方法：表内互算”频数 $=$ 容量 $\times$ 频率”；(2) 把区间概率化为对应组频率之和；(3) 按比例放大再扣除不合格品

避坑指南：(1) $(3,4]$ 的频数要用合计 $50$ 减其余各组（不能凭空猜）；(2) 区间 $(1,3]$ 覆盖 $(1,2]$ 与 $(2,3]$ 两组，频率相加；(3) $1\%$ 是”不合格率”，总数 $2000$ 件中合格品是 $1980$ 而不是 $2000$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布表与总体估计题，与 2012 年湖北卷文第 2 题、2013 年新课标Ⅱ文第 19 题同族。

结论推广：用样本估计总体的比例式：$\frac{样本中A的件数}{样本容量}=\frac{总体中A的件数}{总体总量}$；区间概率 = 覆盖组频率之和。

方法推广：统计表题先补表（用合计校验），再逐问翻译”落在某区间/占比”为频率运算，最后按比例放大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷文-02 单-频率分布表
• 2012-新课标卷文-18 解-利润模型与频率估计
• 2012-陕西卷文-19 解-频率分布与条件概率