2011-福建卷文-21 解-辅助角与区域扫角

本题导读

本题考查任意角三角函数的定义，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 设函数 $f(\theta )=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$，其中，角 $\theta$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边经过点 $P(x,y)$，且 $0⩽\theta ⩽\pi$.

(1)若点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，求 $f(\theta )$ 的值；

(2)若点 $P(x,y)$ 为平面区域 $\Omega :\{\begin{array}{l}x+y⩾1,\\ x⩽1,\\ y⩽1\end{array}$ 上的一个动点，试确定角 $\theta$ 的取值范围，并求函数 $f(\theta )$ 的最小值和最大值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f(\theta )=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)$
2. 步骤2：由区域 $\Omega$ 的顶点定 $\theta$ 范围
3. 步骤3：再用整体角求最值

✅【答案】

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(1)$f(\theta )=2$

(2)$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，最小值为 $1$，最大值为 $2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 在单位圆上，$\cos \theta =\frac{1}{2}$，$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $f(\theta )=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=2$。

（2）区域 $\Omega$ 是由直线 $x+y=1$，$x=1$，$y=1$ 围成的三角形，顶点为 $(1,0)$，$(0,1)$，$(1,1)$。

$\theta$ 是 $OP$ 的倾斜方向的角：$P$ 取遍三角形时，射线 $OP$ 自 $x$ 轴正方向（点 $(1,0)$）扫到 $y$ 轴正方向（点 $(0,1)$），且三角形全部落在第一象限（含边界）内，故 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$。

$f(\theta )=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)$。

$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$\theta +\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$，$\sin$ 在此区间先增后减，最大值在 $\theta +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$（即 $\theta =\frac{\pi }{3}$）处取得，为 $2$；最小值比较两端点：$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$（对应 $f=1$），$\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$（对应 $f=\sqrt{3}$），故最小值为 $1$。

综上，$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，$f(\theta )$ 的最小值为 $1$，最大值为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：任意角三角函数定义；辅助角公式；区域端点与角的扫描

核心方法：区域问题先找顶点：$\theta$ 的范围由三角形对原点所张的角决定；最值用整体角 $\theta +\frac{\pi }{6}$ 的区间分析

避坑指南：$\theta$ 的最大值不是 $\pi$（虽然题设 $0⩽\theta ⩽\pi$）——区域 $\Omega$ 整个在第一象限，射线只能扫到 $\frac{\pi }{2}$；最值两端都要比，$\theta =0$ 与 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 处函数值分别为 $1$ 与 $\sqrt{3}$，最大值反而在区间内部的 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 处。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角与区域综合题与 2011-上海卷文-04、2011-浙江卷文-03、2012-大纲卷文-15 同族。

结论推广：推广：$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$；本题 ${\sqrt{3}}^2+1^2=4$，振幅恰为 $2$，$\phi =\frac{\pi }{6}$。

方法推广：角的范围问题：画区域、连原点、看”扫角”；函数最值统一化为 $A\sin (\theta +\phi )$ 后按整体区间讨论，端点与峰值点逐个比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-04 填-辅助角最值
• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值
• 2012-大纲卷文-15 填-辅助角求最值点