2011-上海卷文-04 填-辅助角最值

本题导读

本题考查两角和与差，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 函数 $y=2\sin x-\cos x$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$a\sin x+b\cos x$ 的最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

$y=2\sin x-\cos x=\sqrt{5}\sin (x-\phi )$，其中 $\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{5}}$。

故最大值为 $\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式与正弦型函数的最值

核心方法：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，最大值 $\sqrt{a^2+b^2}$

避坑指南：$-\cos x$ 的系数是 $-1$，$\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$；把系数当成 $+1$ 会得 $\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角最值题与 2012-大纲卷文-15、2014-上海卷理-12、2013-湖北卷理-04 同族。

结论推广：推广：$a\sin x+b\cos x$ 的值域为 $[-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}]$，与 $a$、$b$ 的符号无关。

方法推广：正弦型函数最值：直接套 $\sqrt{a^2+b^2}$；若求最值点需由 $\tan \phi =\frac{b}{a}$ 定 $\phi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-15 填-辅助角求最值点
• 2014-上海卷理-12 填-辅助角公式
• 2013-湖北卷理-04 单-辅助角公式