2011-福建卷理-07 单-圆锥轨迹

本题导读

本题考查圆锥曲线的定义，以及椭圆与双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 设圆锥曲线 $\Gamma$ 的两个焦点分别为 $F_1,F_2$. 若曲线 $\Gamma$ 上存在点 $P$ 满足 $|P{F}_1|:|F_1{F}_2|:|P{F}_2|=4:3:2$，则曲线 $\Gamma$ 的离心率等于 ()

A. $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$　　　B. $\frac{2}{3}$ 或 $2$　　　C. $\frac{1}{2}$ 或 $2$　　　D. $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 设比值参数 $k>0$，表示出 $|P{F}_1|=4k$，$|F_1{F}_2|=3k=2c$，$|P{F}_2|=2k$。
2. 分曲线为椭圆和双曲线两种情况讨论：

• 若为椭圆，利用定义 $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 求 $a$，进而求 $e=\frac{c}{a}$；
• 若为双曲线，利用定义 $2a=||P{F}_1|-|P{F}_2||$ 求 $a$，进而求 $e=\frac{c}{a}$。

3. 验证三角形两边之和大于第三边，确保图形存在。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $|P{F}_1|=4k$，$|F_1{F}_2|=3k$，$|P{F}_2|=2k$ ($k>0$)。 由焦点距离知焦距 $2c=|F_1{F}_2|=3k$。 因为 $4k+2k>3k$ 且 $4k-2k<3k$，满足三角形构成条件，故点 $P$ 存在且不共线。

1. 若曲线 $\Gamma$ 为椭圆： 由椭圆定义，$2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|=4k+2k=6k$。 所以离心率 $e=\frac{2c}{2a}=\frac{3k}{6k}=\frac{1}{2}$。
2. 若曲线 $\Gamma$ 为双曲线： 由双曲线定义，$2a=||P{F}_1|-|P{F}_2||=4k-2k=2k$。 所以离心率 $e=\frac{2c}{2a}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$。

综上，曲线 $\Gamma$ 的离心率等于 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥曲线（椭圆、双曲线）的定义及离心率定义公式 $e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}$。
• 核心方法：设参比值法与分类讨论思想。
• 避坑指南：题目仅说明是“圆锥曲线”，必须包含椭圆（$0<e<1$）和双曲线（$e>1$）两种情况，切勿漏解；抛物线只有一个焦点故直接排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于解析几何中利用焦点三角形边长比推导离心率的通用模型。
• 结论推广：若焦半径满足 $|P{F}_1|:|F_1{F}_2|:|P{F}_2|=m:2k:n$ ($m>n$)，则椭圆离心率为 $e_1=\frac{2k}{m+n}$，双曲线离心率为 $e_2=\frac{2k}{m-n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理