2011-福建卷理-08 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积坐标运算，以及简单的线性规划问题。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 已知 $O$ 是坐标原点，点 $A(-1,1)$，若点 $M(x,y)$ 为平面区域

$$\{\begin{array}{l}x+y⩾2\\ x⩽1\\ y⩽2\end{array}$$

上的一个动点，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的取值范围是 ()

A. $[-1,0]$　　　　B. $[0,1]$　　　　C. $[0,2]$　　　　D. $[-1,2]$

🔍【思路分析】

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1. 设 $M(x,y)$，写出向量数量积的目标函数 $z=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-x+y$。
2. 作出不等式组表示的可行域，求出可行域各顶点的坐标。
3. 目标函数 $z=y-x$ 表示直线的纵截距，将各顶点代入或平移直线确定最值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由已知得 $\overrightarrow{OA}=(-1,1)$，$\overrightarrow{OM}=(x,y)$， 所以目标函数为：

$$z=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-x+y=y-x.$$

不等式组表示的可行域为由三条直线 $x+y=2$，$x=1$，$y=2$ 围成的三角形区域（包含边界及内部）：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x=1\end{array}⟹P(1,1)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ y=2\end{array}⟹Q(0,2)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}⟹R(1,2)$。

将三个顶点坐标分别代入 $z=y-x$：

• 代入 $P(1,1)$：$z=1-1=0$；
• 代入 $Q(0,2)$：$z=2-0=2$；
• 代入 $R(1,2)$：$z=2-1=1$。

由线性规划极值点原理，目标函数 $z$ 在有界闭凸多边形区域内的最大值为 $2$，最小值为 $0$。 所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的取值范围是 $[0,2]$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量数量积的坐标公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 与线性目标函数的最值。
• 核心方法：角点法（线性目标函数在凸多边形顶点处取得极值）。
• 避坑指南：画可行域时注意不等号方向（如 $x+y⩾2$ 为直线右上方），求交点必须准确无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：平面向量代数化与解析几何二元一次线性规划的标准交叉题。
• 结论推广：在线性规划中，目标函数 $z=Ax+By$ 在凸多边形可行域上的极值必定在边界顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2013-江苏卷-15 解-向量坐标运算
• 2013-湖北卷文-07 单-向量投影