2013-江苏卷-15 解-向量坐标运算

本题导读

本题考查向量的数量积。核心在于平方法、坐标运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 已知向量 $\vec{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\vec{b}=(\cos \beta ,\sin \beta ),0<\beta <\alpha <\pi$.

(1)若 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$，求证：$\vec{a}\perp \vec{b}$；

(2)设 $\vec{c}=(0,1)$，若 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$，求 $\alpha ,\beta$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明垂直）：
   • 核心逻辑：证明 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。
   • 处理模长：将已知等式 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$ 两边平方。利用向量模的平方公式 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$。
   • 代入模值：由坐标可知 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1$，代入后即可解出数量积。
2. 第二问（求角的值）：
   • 建立方程组：利用 $\vec{a}+\vec{b}=(0,1)$ 得到关于 $\alpha ,\beta$ 的两个三角方程。
   • 求两角差：将两个方程分别平方后相加，利用 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )$ 求出两角差的余弦值。
   • 求具体角：根据角范围确定 $\alpha -\beta$ 的值，再利用辅助角公式（合一变形）解出 $\beta$，最后求出 $\alpha$。

✅【答案】

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故 $\alpha =\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 由题意，$\vec{a}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，则 $|\vec{a}{|}^2={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$。 同理，$|\vec{b}{|}^2={\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta =1$。 因为 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$，两边平方得： $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=2$ 代入模长值：$1+1-2\vec{a}\cdot \vec{b}=2$ 解得：$2\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，即 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。 根据向量数量积的意义，$\vec{a}\perp \vec{b}$。

（2）解： 因为 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}=(0,1)$， 所以 $\{\begin{array}{ll}\cos \alpha +\cos \beta =0& \text{(1)}\\ \sin \alpha +\sin \beta =1& \text{(2)}\end{array}$ 将①、②两边分别平方： ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +2\cos \alpha \cos \beta =0$ ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +2\sin \alpha \sin \beta =1$ 两式相加得： $({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )+({\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta )+2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=1$ 即 $1+1+2\cos (\alpha -\beta )=1$ 由此可得 $\cos (\alpha -\beta )=-\frac{1}{2}$。 因为 $0<\beta <\alpha <\pi$，所以 $0<\alpha -\beta <\pi$。 故 $\alpha -\beta =\frac{2\pi }{3}$，即 $\alpha =\beta +\frac{2\pi }{3}$。 代入②得：$\sin (\beta +\frac{2\pi }{3})+\sin \beta =1$ 利用和角公式：$\sin \beta \cos \frac{2\pi }{3}+\cos \beta \sin \frac{2\pi }{3}+\sin \beta =1$ $-\frac{1}{2}\sin \beta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \beta +\sin \beta =1$ $\frac{1}{2}\sin \beta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \beta =1$ 即 $\sin (\beta +\frac{\pi }{3})=1$。 因为 $0<\beta <\pi$，所以 $\frac{\pi }{3}<\beta +\frac{\pi }{3}<\frac{4\pi }{3}$。 故 $\beta +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}⟹\beta =\frac{\pi }{6}$。 代入 $\alpha =\beta +\frac{2\pi }{3}$ 得 $\alpha =\frac{5\pi }{6}$。 经检验，$\alpha =\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{6}$ 满足 $\cos \alpha +\cos \beta =0$。

故 $\alpha =\frac{5\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2023-北京卷-03 单-向量坐标运算
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算