2011-福建卷理-21A 解-矩阵逆矩阵

本题导读

本题考查二阶矩阵与逆矩阵。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 【A】设矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$（其中 $a>0,b>0$）.

(1) 若 $a=2,b=3$，求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$；

(2) 若曲线 $C:x^2+y^2=1$ 在矩阵 $M$ 所对应的线性变换作用下得到曲线 $C^{\prime }:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，求 $a,b$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将 $a=2,b=3$ 代入矩阵 $M$，利用二阶矩阵求逆公式直接写出对角矩阵的逆矩阵。
2. 第二问：设原曲线上任意一点为 $(x_0,y_0)$，变换后的对应点为 $(x,y)$。由线性变换公式 $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$ 反解出 $x_0,y_0$，代入圆方程 $x_0^2+y_0^2=1$ 中，与给出的椭圆方程比对系数求得 $a,b$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 当 $a=2,b=3$ 时，矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$。 因为矩阵行列式 $\det (M)=2\times 3-0\times 0=6\ne 0$， 所以由二阶矩阵求逆公式得：

$$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right).$$

(2) 解： 设曲线 $C$ 上任意一点的坐标为 $(x_0,y_0)$，在矩阵 $M$ 对应的线性变换下得到的点为 $(x,y)$。 则：

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a{x}_0\\ b{y}_0\end{array}\right).$$

所以：

$$\{\begin{array}{l}x=a{x}_0\\ y=b{y}_0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{x}{a}\\ y_0=\frac{y}{b}\end{array}$$

因为点 $(x_0,y_0)$ 在曲线 $C:x^2+y^2=1$ 上，所以：

$$x_0^2+y_0^2=1⟹{\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1⟹\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

已知变换后得到的曲线方程为 $C^{\prime }:\frac{x^2}{4}+y^2=1$， 对照系数可得：

$$\{\begin{array}{l}{a}^2=4\\ b^2=1\end{array}$$

又由已知 $a>0,b>0$，解得：

$$a=2,b=1.$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二阶对角矩阵求逆、利用相关点法（坐标转移法）求解平面图形在几何变换下的象方程。
• 核心方法：坐标转移法（先正向建关系，再逆向反解代入已知轨迹）。
• 避坑指南：
• 必须注意是“用 $M^{-1}$ 反求原像坐标代入原方程”，切勿将 $(x,y)$ 误当作原曲线上的点；
• 提取开方结果时务必结合题设 $a>0,b>0$ 排除负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于高等代数中的对角化与正交变换化二次型为标准型。圆在正交伸缩变换下变为椭圆是最基础的仿射变换几何模型。
• 结论推广：平面内单位圆 $x^2+y^2=1$ 在伸缩矩阵 $M=\text{diag}(a,b)$ 作用下，其象曲线恒为标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式