2014-福建卷理-21A 解-矩阵与变换

本题导读

本题考查二阶矩阵的逆矩阵公式以及矩阵特征值、特征向量的基本求法。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 已知矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.

(1) 求矩阵 $A$；

(2) 求矩阵 $A^{-1}$ 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用 $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ 的原理。对于二阶矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，其逆矩阵 $M^{-1}=\frac{1}{|M|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$，其中 $|M|=ad-bc$。
2. 第二问：
   • 首先构造特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda I-A^{-1}|=0$，解方程求出特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$。
   • 将特征值代入方程 $(\lambda I-A^{-1})\vec{x}=\vec{0}$，求出对应的非零特征向量 $\vec{\xi }$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 求矩阵 $A$；(2)求特征值与特征向量；${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3$；${\vec{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求矩阵 $A$ 因为 $A=(A^{-1}{)}^{-1}$， 且 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 的行列式 $|A^{-1}|=2\times 2-1\times 1=3\ne 0$。 根据二阶矩阵求逆公式： $A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$

(2) 求特征值与特征向量 矩阵 $A^{-1}$ 的特征多项式为： $f(\lambda )=|\lambda I-A^{-1}|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -2& -1\\ -1& \lambda -2\end{array}\right|$ $f(\lambda )=(\lambda -2{)}^2-(-1)\times (-1)={\lambda }^2-4\lambda +4-1={\lambda }^2-4\lambda +3$ 令 $f(\lambda )=0$，得 $(\lambda -1)(\lambda -3)=0$， 解得特征值为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3$。

① 当 ${\lambda }_1=1$ 时，由 $({\lambda }_{1}I-A^{-1})\vec{x}=\vec{0}$ 得： $\left(\begin{array}{cc}1-2& -1\\ -1& 1-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ 得 $x_1+x_2=0$，取一个特征向量为 ${\vec{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$（答案不唯一，非零即可）。

② 当 ${\lambda }_2=3$ 时，由 $({\lambda }_{2}I-A^{-1})\vec{x}=\vec{0}$ 得： $\left(\begin{array}{cc}3-2& -1\\ -1& 3-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ 得 $x_1-x_2=0$，取一个特征向量为 ${\vec{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二阶矩阵的逆、特征值与特征向量

2. 核心方法：用伴随矩阵公式求逆，解 $|\lambda I-A|=0$ 求特征值，解齐次方程求特征向量

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二阶矩阵求逆与特征值特征向量定义

2. 结论推广: 二阶矩阵 $M$ 的逆为 $\frac{1}{|M|}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$。

3. 方法推广: 可迁移到矩阵求逆、特征值与特征向量计算类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-21 解-矩阵乘法与几何变换
• 2013-广东卷文-16 解-三角求值与变换
• 2013-安徽卷文-16 解-三角和角与变换