2011-辽宁卷文-02 单-复数幂周期求和

本题导读

本题考查复数的除法，以及虚数单位的周期性。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） $i$ 为虚数单位，$\frac{1}{i}+\frac{1}{i^3}+\frac{1}{i^5}+\frac{1}{i^7}=$ ()

A. $0$　　　　　　　B. $2i$　　　　　　　C. $-2i$　　　　　　　D. $4i$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：用 $\frac{1}{i}=-i$ 与 $i^4=1$ 逐项化简再求和

✅【答案】

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A$0$

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=-i$；$i^3=-i$，$\frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i}=i$。

由 $i^4=1$ 的周期性：$i^5=i$，$i^7=i^3=-i$，故 $\frac{1}{i^5}=-i$，$\frac{1}{i^7}=i$。

四项相加：$-i+i-i+i=0$，选 A。

另法：原式 $=\frac{1}{i}\left(1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{i^4}+\frac{1}{i^6}\right)=\frac{1}{i}(1-1+1-1)=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$i$ 的幂的周期性；复数除法运算

核心方法：$i^4=1$ 把幂指数按 $\mathrm{mod}4$ 归类，或提取公因式 $\frac{1}{i}$ 后利用 $1+i^2=0$ 交替抵消

避坑指南：$\frac{1}{i}=-i$ 而不是 $i$——分母实数化时分子分母同乘 $i$；四项呈"$-i,i,-i,i$"交替，漏掉负号会错算成 $4i$（选项 D 即此陷阱）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数幂求和题与 2013-山东卷文-01、2011-陕西卷文-08 同族。

结论推广：推广：${\sum }_{k=1}^{4m}\frac{1}{i^{2k-1}}=0$（每个周期内两正两负互相抵消）；$i^n$ 的周期为 $4$，是复数化简的第一反应。

方法推广：复数小题：遇 $i$ 的高次幂先化指数 $\mathrm{mod}4$，遇除法先分母实数化，再谈求和或求积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-01 单-复数模
• 2011-陕西卷文-08 单-三角值域与复数模交集