2011-辽宁卷文-08 单-正三棱柱左视图面积

本题导读

本题考查正三棱柱，以及三视图。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 $2\sqrt{3}$，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ()

A. $4$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由体积定棱长 $2$
2. 步骤2：左视图矩形两边为底面正三角形的高与侧棱长

✅【答案】

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B$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设底面边长与侧棱长均为 $a$。正三棱柱体积 $V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3=2\sqrt{3}$，得 $a^3=8$，$a=2$。

左视图是矩形：一边为侧棱长 $2$，另一边为底面正三角形在视线垂直方向上的投影宽度，即底面正三角形的高 $\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。

故左视图面积为 $2\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱的体积；三视图中左视图的尺寸来源

核心方法：体积定棱长，左视图的宽是底面三角形的高（不是边长）、高是侧棱长

避坑指南：左视图的宽对应底面正三角形的高 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 而不是边长 $a$——误用边长会算成 $4$（选项 A）；体积公式里别漏底面积中的 $\frac{\sqrt{3}}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱柱三视图题与 2014-陕西卷文-17、2013-辽宁卷文-10、2011-湖南卷文-04 同族。

结论推广：推广：正 $n$ 棱柱（底面边长 $a$、侧棱 $h$）的左视图宽为底面正多边形的高（对正三角形为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，对正方形为 $a$）；体积与视图尺寸可互相推算。

方法推广：三视图面积题：先由视图还原”宽 $\times$ 高”的两个来源（底面投影与侧棱），再由体积（或其他视图）定棱长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷文-17 解-三视图与截面
• 2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球
• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积