2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球

本题导读

本题考查球与多面体的外接，以及直三棱柱。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的 6 个顶点都在球 $O$ 的球面上. 若 $AB=3$，$AC=4$，$AB\perp AC$，$A{A}_1=12$，则球 $O$ 的半径为()

A. $\frac{3\sqrt{17}}{2}$　　　　　　B. $2\sqrt{10}$　　　　　　C. $\frac{13}{2}$　　　　　　D. $3\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

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1. $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，底面外接圆半径 $\frac{5}{2}$。
2. $R^2=\frac{25}{4}+{\left(\frac{12}{2}\right)}^2=\frac{169}{4}$。
3. $R=\frac{13}{2}$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

$AB\perp AC$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理 $BC=5$。 直三棱柱的上下底面平行且全等，球心 $O$ 位于两底面外心连线的中点，到上下底面距离各为 $\frac{A{A}_1}{2}=6$。 底面是直角三角形，其外接圆半径等于斜边的一半：$r=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$。 由勾股关系 $R^2=r^2+6^2=\frac{25}{4}+36=\frac{169}{4}\Rightarrow R=\frac{13}{2}.$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱的外接球

核心方法：$AB=3$，$AC=4$，$AB\perp AC$ → $BC=5$；球心在上下底面外心连线的中点，$R^2={\left(\frac{BC}{2}\right)}^2+{\left(\frac{A{A}_1}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}+36=\frac{169}{4}$ → $R=\frac{13}{2}$

避坑指南：直棱柱外接球心在上下底面外心连线的中点：底面直角三角形的外心是斜边中点（$BC$ 中点），$R^2=$（底面外接圆半径${)}^2+($半高${)}^2$——把 $AB$、$AC$ 当斜边或忘除以 2 都会错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直棱柱外接球（补形法 / 公式法）。

结论推广：直棱柱外接球公式 $R^2=r_{\text{底}}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$。

方法推广：底面定外接圆半径 → 直角三角形斜边一半 → 套公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-15 填-球表面积
• 2014-大纲卷文-10 单-正四棱锥外接球
• 2015-四川卷文-14 填-三视图体积