2011-辽宁卷文-11 单-导数构造解抽象不等式

本题导读

本题考查导数与函数单调性，以及构造函数解不等式。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$f(-1)=2$，对任意 $x\in \mathbf{R}$，$f^{\prime }(x)>2$，则 $f(x)>2x+4$ 的解集为 ()

A. $(-1,1)$　　　　B. $(-1,+\infty )$　　　　C. $(-\infty ,-1)$　　　　D. $(-\infty ,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：构造 $g(x)=f(x)-2x-4$
2. 步骤2：由 $g^{\prime }>0$ 与 $g(-1)=0$ 定解集

✅【答案】

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B$(-1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

构造 $g(x)=f(x)-2x-4$。

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2>2-2=0$，故 $g$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

$g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0$。

于是 $f(x)>2x+4⟺g(x)>0=g(-1)⟺x>-1$（增函数反解自变量）。

解集为 $(-1,+\infty )$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由导数符号定单调性；构造差函数把抽象不等式化为单调性问题

核心方法：把 $f(x)>2x+4$ 整理成 $f(x)-2x-4>0$，构造 $g$，用”$g$ 增 + $g(-1)=0$“把函数值比较翻译成自变量比较

避坑指南：构造方向是”移项作差”而不是分别研究 $f$ 与直线——$f^{\prime }>2$ 说明 $f$ 比斜率 $2$ 的直线涨得快，但 $f$ 本身未必递增；$g(-1)=f(-1)-2\times (-1)-4=0$ 中 $-2x$ 代入负数要变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数构造题与 2012-新课标卷文-21、2011-新课标卷文-21 同族。

结论推广：推广：$f^{\prime }(x)>\lambda$（常数）型条件，标准构造 $g(x)=f(x)-\lambda x$；$g$ 递增配合一个函数值 $g(x_0)=c$，即可解 $g(x)>c$ 型不等式，这是抽象函数不等式的万能框架。

方法推广：抽象不等式题：见到 $f^{\prime }$ 与具体斜率同时出现，立即作差构造，单调性 + 一点函数值两件套解决问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.06 导数构造函数逆向还原专题

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-21 解-导数恒成立与隐零点
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式