2012-新课标卷文-21 解-导数恒成立与隐零点

本题导读

本题考查利用导数研究单调性。核心在于分类讨论法、分离参数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=e^x-ax-2$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 若 $a=1$，$k$ 为整数，且当 $x>0$ 时，$(x-k)f^{\prime }(x)+x+1>0$，求 $k$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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(1) $a⩽0$ 时在 $\mathbf{R}$ 上递增，$a>0$ 时在 $(-\infty ,\ln a)$ 减、$(\ln a,+\infty )$ 增；(2) 分离得 $k<x+\frac{x+1}{e^x-1}$，右端最小值 $g(\alpha )=\alpha +1\in (2,3)$，$k_{\max }=2$。

✅【答案】

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(1) $a⩽0$ 时单调增区间为 $(-\infty ,+\infty )$；$a>0$ 时单调减区间为 $(-\infty ,\ln a)$，单调增区间为 $(\ln a,+\infty )$ (2) $k$ 的最大值为 $2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=e^x-a$。

若 $a⩽0$，$f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递增。

若 $a>0$，$f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\ln a$：$x<\ln a$ 时 $f^{\prime }<0$（减），$x>\ln a$ 时 $f^{\prime }>0$（增）。

(2) $a=1$ 时 $f^{\prime }(x)=e^x-1$。当 $x>0$ 时 $e^x-1>0$，故 $(x-k)(e^x-1)+x+1>0⟺k<x+\frac{x+1}{e^x-1}:=g(x)(\forall x>0)$

求导：$g^{\prime }(x)=1-\frac{e^x(x+1)-(x+1)}{(e^x-1{)}^2}=\frac{e^x-x-2}{e^x-1}$。

令 $h(x)=e^x-x-2$，$h$ 在 $(0,+\infty )$ 递增，$h(1)=e-3<0$，$h(2)=e^2-4>0$，故存在唯一 $\alpha \in (1,2)$ 使 $e^{\alpha }=\alpha +2$。

$x\in (0,\alpha )$ 时 $g^{\prime }<0$，$x\in (\alpha ,+\infty )$ 时 $g^{\prime }>0$，$g$ 在 $x=\alpha$ 取最小值：$g(\alpha )=\alpha +\frac{\alpha +1}{\alpha +1}=\alpha +1\in (2,3)$。

于是 $k<g(x)$ 对一切 $x>0$ 成立 $⟺k⩽2$（整数），$k$ 的最大值为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数分类讨论研究单调性；分离参数与隐零点估值

核心方法：”$k<g(x)$ 恒成立 $⟺k<\min g$”；$g^{\prime }$ 的零点 $\alpha$ 不可解，用 $e^{\alpha }=\alpha +2$ 回代估值

避坑指南：①$g^{\prime }$ 的分子恰是 (1) 中的 $e^x-x-2$，命题在此埋了伏笔；②隐零点 $\alpha$ 不能解出，必须”代回消指数”估出 $g(\alpha )\in (2,3)$，才能定整数 $k$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：全国卷导数压轴经典（隐零点 + 整数解），与 2013 年大纲卷文第 21 题（导数单调性与恒成立）同族；其理科版本即 2012 新课标理 21 题。

结论推广：一般地，$e^x=x+m$ 型隐零点：把 $e^{\alpha }$ 用 $\alpha +m$ 代回目标式，常能把超越式化成整式估值。

方法推广：恒成立求整数参：先分离参数，再对最值函数”求导 → 隐零点 → 回代估值”，最后按整数夹逼定答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2013-四川卷理-21 解-导数单调性