2011-辽宁卷文-21 解-双椭圆平行存在性

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率，以及双椭圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 如图，已知椭圆 $C_1$ 的中心在原点 $O$，长轴左、右端点 $M$，$N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_2$ 的短轴为 $MN$，且 $C_1$，$C_2$ 的离心率都为 $e$.直线 $l\perp MN$，$l$ 与 $C_1$ 交于两点，与 $C_2$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A$，$B$，$C$，$D$.

(1)设 $e=\frac{1}{2}$，求 $|BC|$ 与 $|AD|$ 的比值；

(2)当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$，使得 $BO\parallel AN$，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）由离心率写出两椭圆纵坐标的表达式
2. 步骤2：作比
3. 步骤3：（2）用 $k_{BO}=k_{AN}$ 化为 $u$ 的方程
4. 步骤4：由 $u>-1$ 定 $e$ 的范围

✅【答案】

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(1) $\frac{|BC|}{|AD|}=\frac{3}{4}$

(2) 当 $0<e⩽\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时不存在；当 $\frac{\sqrt{2}}{2}<e<1$ 时存在

✍【详细解析】

Abstract

设 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），则 $M(-a,0)$，$N(a,0)$，$b^2=a^2(1-e^2)$。

$C_2$ 的短轴为 $MN=2a$，故 $C_2$ 的短半轴为 $a$（短轴在 $x$ 轴上、长轴在 $y$ 轴上），其长半轴为 $\frac{a}{\sqrt{1-e^2}}$，方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2(1-e^2)}{a^2}=1$，即 $y^2=\frac{a^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)}{1-e^2}$ 在 $C_2$ 上。

设 $l:x=t$（$|t|<a$），记 $u=\frac{t}{a}\in (-1,1)$，$s=\sqrt{1-u^2}>0$。

则 $C_1$ 上两交点纵坐标为 $\pm a\sqrt{1-e^2}s$，$C_2$ 上两交点纵坐标为 $\pm \frac{as}{\sqrt{1-e^2}}$。

由 $\sqrt{1-e^2}<\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}$，四点纵坐标从大到小为 $A\left(t,\frac{as}{\sqrt{1-e^2}}\right)$，$B\left(t,as\sqrt{1-e^2}\right)$，$C\left(t,-as\sqrt{1-e^2}\right)$，$D\left(t,-\frac{as}{\sqrt{1-e^2}}\right)$。

（1）$e=\frac{1}{2}$：$\sqrt{1-e^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$|BC|=2as\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$，$|AD|=\frac{2as}{\sqrt{3}/2}=\frac{4as}{\sqrt{3}}$。

$\frac{|BC|}{|AD|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$。

（2）$t\ne 0$（$t=0$ 时 $B$，$O$，$A$ 共线于 $y$ 轴，不满足平行于 $AN$ 的斜率条件，下面统一处理）。

$BO\parallel AN⟺k_{BO}=k_{AN}$，即 $\frac{y_B}{t}=\frac{-y_A}{a-t}$。

左边与右边符号必须相同：$y_A>0$，$a-t>0$，故需 $t<0$（$t>0$ 时两边异号，无解）。

当 $t<0$：$\frac{y_B}{y_A}=\frac{-t}{a-t}$。

左边 $=\frac{as\sqrt{1-e^2}}{\frac{as}{\sqrt{1-e^2}}}=1-e^2$；右边 $=\frac{-u}{1-u}$。

故 $1-e^2=\frac{-u}{1-u}$，解得 $u=-\frac{1-e^2}{e^2}$。

存在性要求 $u\in (-1,0)$：$u<0$ 恒成立；$u>-1⟺\frac{1-e^2}{e^2}<1⟺1-e^2<e^2⟺e^2>\frac{1}{2}⟺e>\frac{\sqrt{2}}{2}$。

故当 $0<e⩽\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时不存在这样的直线 $l$；当 $\frac{\sqrt{2}}{2}<e<1$ 时存在（$l:x=-\frac{a(1-e^2)}{e^2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程的设法（长轴/短轴角色互换）；离心率与半轴长；两直线平行的斜率条件；由参数范围反解离心率

核心方法：统一参数 $u=\frac{t}{a}$ 写出四点纵坐标，作比即得（1）；（2）把平行翻译成斜率方程，解出 $u$ 后用"$u\in (-1,0)$"反界定 $e$

避坑指南：$C_2$ 的长轴在 $y$ 轴上（短轴才是 $MN$），方程千万别照抄 $C_1$ 的形状；斜率条件的符号分析是全题命门——$t>0$ 时 $k_{BO}$ 与 $k_{AN}$ 异号必无解，$t<0$ 才有解，且解 $u$ 必须落在 $(-1,0)$（$l$ 与两椭圆都要交于两点），由此自然分界 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；$t=0$（$l$ 为 $y$ 轴）时 $B$，$O$，$A$ 都在 $y$ 轴上，$BO$ 与 $AN$ 重合于 $y$ 轴，$AN$ 不在 $y$ 轴上（$N$ 在 $x$ 轴），故不满足。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双椭圆综合题与 2012-陕西卷文-20、2012-重庆卷文-21、2014-新课标I卷文-20 同族。

结论推广：推广：两曲线共顶点/共轴的组合（椭圆配椭圆、椭圆配双曲线），设 $u=\frac{t}{a}$ 后各曲线纵坐标都是 $as$ 的倍数，比值问题变成系数之比；存在性问题最后一定归到”参数落在一个开区间”上，区间的端点就是临界离心率。

方法推广：解析几何存在性大题：设线（$x=t$）→ 写交点坐标（用 $u,s$ 化简）→ 翻译几何条件为方程 → 解出参数 → 用定义域范围反界定参；每一步都把字母个数压到一个。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积