2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。核心在于联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，椭圆 $C_2$ 以 $C_1$ 的长轴为短轴，且与 $C_1$ 有相同的离心率.

(1)求椭圆 $C_2$ 的方程；

(2)设 $O$ 为坐标原点，点 $A$，$B$ 分别在椭圆 $C_1$ 和 $C_2$ 上，$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，求直线 $AB$ 的方程.

🔍【思路分析】

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（1）$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$b_2=2$，$\frac{3}{4}{a}_2^2=a_2^2-4\Rightarrow a_2=4$，$C_2:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$；（2）$x^2=y^2$，直线 $AB$ 过原点，方程为 $y=x$ 或 $y=-x$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$；(2)$y=x$ 或 $y=-x$

✍【详细解析】

Abstract

（1）椭圆 $C_1$ 的长半轴为 $2$、短半轴为 $1$，半焦距 $c=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$C_2$ 以 $C_1$ 的长轴为短轴，故 $C_2$ 的短半轴 $b_2=2$，且焦点在 $y$ 轴上。设 $C_2$ 的长半轴为 $a_2$、半焦距为 $c_2$，由

$\frac{c_2}{a_2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $c_2^2=a_2^2-b_2^2=a_2^2-4$，得 $\frac{3}{4}{a}_2^2=a_2^2-4$，解得 $a_2^2=16$。

所以椭圆 $C_2$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$。

（2）设 $A(x,y)$，由 $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$ 得 $B(2x,2y)$。

$A$ 在 $C_1$ 上：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$，即 $x^2+4y^2=4$；

$B$ 在 $C_2$ 上：$\frac{(2x{)}^2}{4}+\frac{(2y{)}^2}{16}=1$，即 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$，即 $4x^2+y^2=4$。

两式相减得 $3x^2-3y^2=0$，即 $x^2=y^2$。

代回 $x^2+4y^2=4$ 得 $5x^2=4$，$x^2=y^2=\frac{4}{5}$，故 $y=x$ 或 $y=-x$。

又 $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$ 说明 $A$、$B$、$O$ 共线，即直线 $AB$ 过原点。

所以直线 $AB$ 的方程为 $y=x$ 或 $y=-x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程（焦点位置与 $a$、$b$ 的对应）；离心率相同的意义；向量共线与方程联立

核心方法：“以长轴为短轴”给出 $b_2$ 与焦点位置；（2）把两个点的坐标用同一组参数表示，分别代入两条椭圆方程再联立

避坑指南：$C_2$ 的焦点在 $y$ 轴上，方程是 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$（$x$ 位置仍是 $4$，$y$ 位置是 $16$），写成 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 是典型错误；（2）中两式相减前先统一成展开形式，别直接用分式相减。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆标准方程与向量共线综合题，与 2012 年重庆卷文第 21 题、2013 年大纲卷文第 8 题同族。

结论推广：$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$ 意味着 $A$、$B$、$O$ 三点共线且 $|OB|=2|OA|$；若点 $A$ 在离心率为 $e$ 的椭圆上，则”放大 $\lambda$ 倍”后的点落在以同一离心率、短轴放大 $\lambda$ 倍的椭圆上。

方法推广：解析几何中”点分别在两条曲线上 + 向量倍数关系”，固定套路：设一个点的坐标，用倍数写出另一个点的坐标，双双代入方程联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积
• 2013-大纲卷文-08 单-椭圆标准方程
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程