2011-辽宁卷理-08 单-二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质，以及线面平行的判定。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面为正方形，$SD\perp$ 底面 $ABCD$，则下列结论中不正确的是 ()

A. $AC\perp SB$

B. $AB\parallel$ 平面 $SCD$

C. $SA$ 与平面 $SBD$ 所成的角等于 $SC$ 与平面 $SBD$ 所成的角

D. $AB$ 与 $SC$ 所成的角等于 $DC$ 与 $SA$ 所成的角

🔍【思路分析】

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1. 分析 A 选项：证明 $AC\perp$ 平面 $SBD$ 即可判断 $AC\perp SB$。
2. 分析 B 选项：由底面正方形的对边平行判断线面平行。
3. 分析 C 选项：由面面垂直与对称性，判断点 $A$ 和点 $C$ 到平面 $SBD$ 的对称射影关系。
4. 分析 D 选项：通过平移直线将异面直线所成角转化为同一顶点出的平面角进行比较。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

• 对 A：底面为正方形，故 $AC\perp BD$。又 $SD\perp$ 底面 $ABCD⟹SD\perp AC$。因为 $BD\cap SD=D$，所以 $AC\perp$ 平面 $SBD$。而 $SB\subset$ 平面 $SBD$，故 $AC\perp SB$。A 正确。
• 对 B：因为 $ABCD$ 为正方形，所以 $AB\parallel CD$。又 $AB\not\subset$ 平面 $SCD$，$CD\subset$ 平面 $SCD$，所以 $AB\parallel$ 平面 $SCD$。B 正确。
• 对 C：设 $AC\cap BD=O$。由 A 知 $AC\perp$ 平面 $SBD$，故 $AO\perp$ 平面 $SBD$，$CO\perp$ 平面 $SBD$。因此 $SA$ 与平面 $SBD$ 所成的角为 $\angle ASO$，$SC$ 与平面 $SBD$ 所成的角为 $\angle CSO$。在 $△ASC$ 中，$SD\perp AC$ 且 $O$ 为 $AC$ 中点，由勾股定理可得 $SA=SC$。又 $AO=CO$，$SO=SO$，故 $△ASO\cong △CSO$，即 $\angle ASO=\angle CSO$。C 正确。
• 对 D：因为 $AB\parallel CD$，$AB$ 与 $SC$ 所成的角即为 $CD$ 与 $SC$ 所成的角（即 $\angle SCD$）；同理 $DC\parallel AB$，$DC$ 与 $SA$ 所成的角即为 $AB$ 与 $SA$ 所成的角（即 $\angle SAB$）。在直角三角形 $△SDC$ 中，$\cos \angle SCD=\frac{CD}{SC}$；在直角三角形 $△SDA$ 中（$SD\perp AD$ 且 $AD\perp AB⟹SA\perp AB$），$\angle SAB=90^{\circ }$。显然 $\angle SCD\ne 90^{\circ }$，故二者不相等。D 错误。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线线垂直、线面垂直的转化，线面角与异面直线夹角的平移法。
• 核心方法：
• 证明线线垂直：先证明线面垂直（$AC\perp$ 平面 $SBD$）；
• 异面直线夹角：利用平行线平移至同一共面角。
• 避坑指南：D 选项中，容易误以为图形整体对称而得出夹角相等，实际上 $D$ 是直角顶点，$S-ABCD$ 关于平面 $SBD$ 对称，但不关于经过其他棱的截面对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自立体几何正方体/长方体局部截割出的经典四棱锥模型。
• 结论推广：若四棱锥底面为平行四边形，顶点在底面的射影落在一条对角线上，则该四棱锥关于包含该对角线的高截面对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2006-北京卷理-17 解-空间向量建系法
• 2006-福建卷理-18 解-点到平面的距离
• 2008-天津卷文-19 解-四棱锥垂直与二面角