2011-辽宁卷理-13 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的焦点与焦距。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 已知点 $(2,3)$ 在双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 上，$C$ 的焦距为 4，则它的离心率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由焦距为 4 得到半焦距 $c=2$，结合双曲线关系式 $b^2=c^2-a^2=4-a^2$。
2. 将点 $(2,3)$ 代入双曲线方程，建立关于 $a^2$ 的一元二次方程并求解。
3. 由 $e=\frac{c}{a}$ 计算离心率。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线 $C$ 的焦距为 4，所以 $2c=4⟹c=2$。 由双曲线的几何性质，$b^2=c^2-a^2=4-a^2$（其中 $0<a<2$）。 双曲线方程可化为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4-a^2}=1$ 将点 $(2,3)$ 代入方程得： $\frac{4}{a^2}-\frac{9}{4-a^2}=1$ 去分母整理得： $4(4-a^2)-9a^2=a^2(4-a^2)$ $16-4a^2-9a^2=4a^2-a^4$ $a^4-17a^2+16=0$ 因式分解得： $(a^2-1)(a^2-16)=0$ 因为 $0<a^2<c^2=4$，所以 $a^2=1⟹a=1$。 因此，双曲线的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2$ 故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦距概念（$2c$ 与 $c$ 的区别）与基本量方程求解。
• 核心方法：将 $b^2$ 用 $c^2-a^2$ 代换，直接解关于 $a^2$ 的方程。
• 避坑指南：
• 焦距为 $2c=4$，切勿看成 $c=4$；
• 解方程得到 $a^2=1$ 和 $a^2=16$，必须结合 $a<c=2$ 舍去 $a^2=16$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自双曲线定义及基本量运算的常规填空题。
• 结论推广：过定点 $(x_0,y_0)$ 且焦距为 $2c$ 的双曲线，方程 $(a^2{)}^2-(x_0^2+y_0^2+c^2)a^2+c^2{x}_0^2=0$ 恒有唯一满足 $0<a^2<c^2$ 的解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程