2011-辽宁卷理-15 填-三棱柱三视图

本题导读

本题考查正三棱柱的三视图与几何结构，以及正三棱柱的体积计算。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 $2\sqrt{3}$，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设正三棱柱的底面边长和侧棱长均为 $a$，由体积公式 $V=S_{\text{底}}\cdot h$ 求出 $a$。
2. 观察俯视图放置方向（底面等边三角形底边在下、顶点朝上），确定左视图（侧视图）对应的宽度为底面等边三角形的高，高度为正三棱柱的高。
3. 计算左视图矩形面积 $S=h_{\text{底}}\cdot h$。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设正三棱柱的底面边长为 $a$，侧棱长（高）为 $h$。 由题意，$h=a$。 底面为边长为 $a$ 的正三角形，其底面积为： $S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 正三棱柱的体积为： $V=S_{\text{底}}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3$ 已知 $V=2\sqrt{3}$，得： $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3=2\sqrt{3}⟹a^3=8⟹a=2$ 故侧棱长 $h=2$。 由俯视图可知，正三棱柱底面正三角形水平放置，一条边水平平行于正投影面。 因此，其左视图（侧视图）的宽为底面正三角形的高： $d=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$ 左视图的高为正三棱柱的侧棱长 $h=2$。 所以左视图矩形的面积为： $S=d\cdot h=\sqrt{3}\times 2=2\sqrt{3}$ 故答案为：$2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图“长对正、高平齐、宽相等”投影规则与正棱柱度量计算。
• 核心方法：
• 俯视图确定投影方向与截面宽度；
• 侧视图（左视图）矩形的宽对应俯视图沿前后方向的最大投影宽度（即正三角形的高 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$）。
• 避坑指南：容易把左视图的宽误当作边长 $a$（误填为 $a\times a=4$），必须注意侧视方向在底面上的垂直投影是三角形的高。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：三视图投影规律与柱体体积计算的典型识图题。
• 结论推广：底面边长为 $a$、高为 $h$ 的正三棱柱，若底边平行于主视投影面，则其左视图面积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{2}ah$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积
• 2009-湖北卷文-06 单-三棱柱的高