2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角

本题导读

考查异面直线所成角。建系得 $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$，数量积为 $0$，所成角 $90^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的各条棱长都相等，$M$ 是侧棱 $C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $A{B}_1$ 和 $BM$ 所成的角的大小是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设棱长为 $1$，取 $A(0,0,0),B(1,0,0),C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$B_1(1,0,1)$，$M\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。
2. $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。
3. 数量积 $-\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}=0$，两直线垂直，所成角 $90^{\circ }$。

✅【答案】

点击查看答案

$90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

设各棱长均为 $1$。建立空间直角坐标系，取 $A(0,0,0),B(1,0,0),C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),B_1(1,0,1),M\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right).$ 则 $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}=0,$ 所以 $A{B}_1\perp BM$，异面直线 $A{B}_1$ 和 $BM$ 所成的角为 $90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的向量求法

核心方法：建系写坐标，数量积为零即垂直

避坑指南：正三棱柱底面是正三角形：$C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$ 的坐标最容易写错；$M$ 是中点，$z=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“各条棱长都相等”即底面边长等于侧棱长，设 $1$ 即可。

结论推广：异面直线所成角取锐角或直角，$\cos \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$。

方法推广：本题也可平移 $BM$ 到 $B_1$ 处几何构造，向量法最稳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线
• 2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角
• 2009-湖南卷文-18 解-三棱柱线面角
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角