2011-辽宁卷理-19 解-古典概型

本题导读

本题考查超几何分布。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成 $n$ 小块地，在总共 $2n$ 小块地中，随机选 $n$ 小块地种植品种甲，另外 $n$ 小块地种植品种乙.

(1) 假设 $n=4$，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2) 试验时每大块地分成 8 小块，即 $n=8$，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：${\text{kg/hm}}^2$）如下表：

品种甲	403	397	390	404	388	400	412	406
品种乙	419	403	412	418	408	423	400	413

分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种？ 附：样本数据 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的样本方差 $s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\overline{x}{)}^2+(x_2-\overline{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\overline{x}{)}^2\right]$，其中 $\overline{x}$ 为样本平均数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 (1)：当 $n=4$ 时，总共 8 块地，第一大块地占 4 块，品种甲占 4 块。$X$ 服从超几何分布，确定 $X$ 的取值 $0,1,2,3,4$，利用超几何分布公式求概率并列出分布列，利用公式计算期望。
2. 对 (2)：先分别求出甲、乙品种产量的样本平均数 ${\overline{x}}_{\text{甲}}$ 和 ${\overline{x}}_{\text{乙}}$；再利用方差公式求样本方差 $s_{\text{甲}}^2$ 和 $s_{\text{乙}}^2$；最后从“平均产量更高”和“产量更稳定（方差更小）”两个角度做出种植建议。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n=4$ 时，总共有 $2n=8$ 小块地，第一大块地有 4 小块地，选出的品种甲共有 4 小块地。 $X$ 表示在第一大块地中种植品种甲的小块地数目，则 $X$ 服从参数为 $N=8,M=4,n=4$ 的超几何分布。 $X$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。 基本事件总数为 ${\text{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$。 各取值的概率为： $P(X=0)=\frac{{\text{C}}_4^0{\text{C}}_4^4}{{\text{C}}_8^4}=\frac{1\times 1}{70}=\frac{1}{70}$ $P(X=1)=\frac{{\text{C}}_4^1{\text{C}}_4^3}{{\text{C}}_8^4}=\frac{4\times 4}{70}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$ $P(X=2)=\frac{{\text{C}}_4^2{\text{C}}_4^2}{{\text{C}}_8^4}=\frac{6\times 6}{70}=\frac{36}{70}=\frac{18}{35}$ $P(X=3)=\frac{{\text{C}}_4^3{\text{C}}_4^1}{{\text{C}}_8^4}=\frac{4\times 4}{70}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$ $P(X=4)=\frac{{\text{C}}_4^4{\text{C}}_4^0}{{\text{C}}_8^4}=\frac{1\times 1}{70}=\frac{1}{70}$ 所以 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

数学期望为： $E(X)=0\times \frac{1}{70}+1\times \frac{16}{70}+2\times \frac{36}{70}+3\times \frac{16}{70}+4\times \frac{1}{70}=\frac{0+16+72+48+4}{70}=\frac{140}{70}=2$ （注：也可由超几何分布期望公式直接验证 $E(X)=4\times \frac{4}{8}=2$）。

(2) 品种甲每公顷产量的样本平均数为： ${\overline{x}}_{\text{甲}}=\frac{403+397+390+404+388+400+412+406}{8}=\frac{3200}{8}=400{\text{（kg/hm}}^2\text{）}$ 品种甲的样本方差为： $s_{\text{甲}}^2=\frac{1}{8}\left[(403-400{)}^2+(397-400{)}^2+(390-400{)}^2+(404-400{)}^2+(388-400{)}^2+(400-400{)}^2+(412-400{)}^2+(406-400{)}^2\right]$ $s_{\text{甲}}^2=\frac{1}{8}\left[3^2+(-3{)}^2+(-10{)}^2+4^2+(-12{)}^2+0^2+12^2+6^2\right]=\frac{1}{8}(9+9+100+16+144+0+144+36)=\frac{458}{8}=57.25$

品种乙每公顷产量的样本平均数为： ${\overline{x}}_{\text{乙}}=\frac{419+403+412+418+408+423+400+413}{8}=\frac{3296}{8}=412{\text{（kg/hm}}^2\text{）}$ 品种乙的样本方差为： $s_{\text{乙}}^2=\frac{1}{8}\left[(419-412{)}^2+(403-412{)}^2+(412-412{)}^2+(418-412{)}^2+(408-412{)}^2+(423-412{)}^2+(400-412{)}^2+(413-412{)}^2\right]$ $s_{\text{乙}}^2=\frac{1}{8}\left[7^2+(-9{)}^2+0^2+6^2+(-4{)}^2+11^2+(-12{)}^2+1^2\right]=\frac{1}{8}(49+81+0+36+16+121+144+1)=\frac{448}{8}=56$

决策评价： 因为 ${\overline{x}}_{\text{乙}}>{\overline{x}}_{\text{甲}}$ 且 $s_{\text{乙}}^2<s_{\text{甲}}^2$， 表明品种乙的每公顷平均产量明显高于品种甲，且品种乙产量的稳定性也优于品种甲。 故应该种植品种乙。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：超几何分布的建模、期望公式以及样本均值与方差的数值计算与统计决策。
• 核心方法：
• 均值计算时可利用基准数法（如甲以 400 为基准，乙以 410 为基准）快速累加；
• 决策说明需兼顾“均值代表水平，方差代表稳定性”两个维度。
• 避坑指南：第 (1) 问是典型的超几何分布，切勿错用二项分布模型；第 (2) 问求方差时数据较多，加减平方时需细心避免算错算漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的农林田间试验设计与方差分析初级模型。
• 结论推广：在方案选择与统计决策中，最优方案评判准则通常为“平均水平更高（${\overline{x}}_A>{\overline{x}}_B$）且波动幅度更小（$s_A^2<s_B^2$）”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2004-全国卷II理-13 填-离散型随机变量的分布列
• 2004-天津理-18 解-离散型随机变量的分布列