2011-重庆卷文-19 解-三次函数极值

本题导读

本题考查导数与二次函数的对称性，以及利用极值点求参数。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 设 $f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+1$ 的导数为 $f^{\prime }(x)$. 若函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{1}{2}$ 对称，且 $f^{\prime }(1)=0$.

(1)求实数 $a$，$b$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的极值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f^{\prime }$ 的对称轴 $-\frac{a}{6}=-\frac{1}{2}$ 得 $a=3$
2. 步骤2：$f^{\prime }(1)=0$ 得 $b=-12$
3. 步骤3：分解 $f^{\prime }=6(x+2)(x-1)$ 列极值表

✅【答案】

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(1) $a=3$，$b=-12$

(2) 极大值 $f(-2)=21$，极小值 $f(1)=-6$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b$。 二次函数图象的对称轴为 $x=-\frac{2a}{2\times 6}=-\frac{a}{6}$， 由题意 $-\frac{a}{6}=-\frac{1}{2}$，得 $a=3$。 由 $f^{\prime }(1)=6+2a+b=0$，得 $b=-12$。 （2）此时 $f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$，$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$。 当 $x<-2$ 或 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，当 $-2<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极大值 $f(-2)=-16+12+24+1=21$， 在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=2+3-12+1=-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数 $y=A{x}^2+Bx+C$ 对称轴 $x=-\frac{B}{2A}$；三次函数极值的判定（导数变号）。

核心方法：对称轴条件定 $a$ → 已知零点定 $b$ → 因式分解列单调表 → 端点代入求极值。

避坑指南：极值点是 $x=-2$ 与 $x=1$，求的是函数值 $f(-2)$、$f(1)$ 而非导数值；代值时 $2(-2{)}^3=-16$ 带负号进式，符号出错会得到错误的极大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数「对称的导函数 + 导数零点」定参数并求极值，2011 大纲卷文 21（极值点分布）、2012 江苏卷 18 为同族加深题。

结论推广：三次函数 $f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ 的导函数对称轴即 $f$ 的拐点横线 $x=-\frac{B}{3A}$；本题拐点在 $x=-\frac{1}{2}$ 与导函数对称轴重合，是三次函数的普适结构。

方法推广：先「翻译」几何条件为代数方程（对称轴、零点），两个条件解两个参数；求极值必须列表看导数变号，不能只解 $f^{\prime }=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-21 解-三次函数极值点分布
• 2011-湖南卷文-22 解-导数极值点与斜率
• 2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点