2011-重庆卷理-03 单-直线与圆

本题导读

本题考查数列与函数的极限，以及分式极限运算。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 已知 ${\lim }_{x\to \infty }\left(\frac{2}{x-1}+\frac{ax-1}{3x}\right)=2$，则 $a=$ ()

A. $-6$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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1. 分别求两项在 $x\to \infty$ 时的极限。
2. 根据极限加法法则建立方程求解待定参数 $a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\to \infty$ 时， ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2}{x-1}=0$， ${\lim }_{x\to \infty }\frac{ax-1}{3x}={\lim }_{x\to \infty }\left(\frac{a}{3}-\frac{1}{3x}\right)=\frac{a}{3}$。 所以 ${\lim }_{x\to \infty }\left(\frac{2}{x-1}+\frac{ax-1}{3x}\right)=0+\frac{a}{3}=\frac{a}{3}$。 由已知 $\frac{a}{3}=2$，解得 $a=6$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：有理分式函数的极限运算法则。
• 核心方法：分子分母同除以最高次幂项后取极限。
• 避坑指南：注意常数项除以趋向无穷大的项极限为 0，切忌通分复杂化运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：考纲经典极限模型，考查初等分式函数的渐近性质。
• 结论推广：若 $P(x),Q(x)$ 为同次多项式，则 $x\to \infty$ 的极限等于两者的最高次项系数之比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-08 填-等比数列的通项与求和
• 1990-上海卷-24 解-数列极限的求解
• 2006-北京卷理-09 填-因式分解与约分