2011-重庆卷理-12 填-三角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及平面向量的模长计算。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 已知单位向量 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ 的夹角为 $60^{\circ }$，则 $|2{\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由单位向量条件得 $|{\mathbf{e}}_1|=|{\mathbf{e}}_2|=1$。
2. 计算数量积 ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=|{\mathbf{e}}_1||{\mathbf{e}}_2|\cos 60^{\circ }$。
3. 计算 $|2{\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2{|}^2$，最后开方得到模长。

✅【答案】

点击查看答案

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ 为单位向量，故 $|{\mathbf{e}}_1|=|{\mathbf{e}}_2|=1$。 两向量的夹角为 $60^{\circ }$，则： ${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=1\times 1\times \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。 因此： $|2{\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2{|}^2=(2{\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2{)}^2=4{\mathbf{e}}_1^2-4{\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_2^2$ $=4\times 1^2-4\times \frac{1}{2}+1^2=4-2+1=3$。 所以 $|2{\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2|=\sqrt{3}$。

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量求模的核心公式 $|\mathbf{a}|=\sqrt{{\mathbf{a}}^2}$。
• 核心方法：平方法化模长为内积计算。
• 避坑指南：计算展开式时注意交叉项系数为 $-4{\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2$；最终结果必须开平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：平面向量线性运算与数量积定义的常规基础题。
• 结论推广：若 $|\mathbf{a}|=m,|\mathbf{b}|=n$，夹角为 $\theta$，则 $|\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}|=\sqrt{{\lambda }^2{m}^2+{\mu }^2{n}^2+2\lambda \mu mn\cos \theta }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积