2011-重庆卷理-13 填-二项分布

本题导读

本题考查二项分布与独立重复试验，以及对称性概率计算。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 将一枚均匀的硬币抛掷 $6$ 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 抛掷 6 次硬币，正面出现的次数 $X\sim B\left(6,\frac{1}{2}\right)$。
2. 正面次数多于反面次数，即正面次数可为 4、5、6 次。
3. 方式一：直接根据独立重复试验公式求 $P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$；方式二：利用硬币正反面等可能性的对称性化简计算。

✅【答案】

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$\frac{11}{32}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（直接法）： 设正面出现的次数为 $X$，则 $X\sim B\left(6,\frac{1}{2}\right)$。 “正面出现的次数比反面多”等价于 $X>6-X⟹X>3$，即 $X\in \{4,5,6\}$。 $P(X=4)={\mathrm{C}}_6^4{\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{15}{64}$， $P(X=5)={\mathrm{C}}_6^5{\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{6}{64}$， $P(X=6)={\mathrm{C}}_6^6{\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{1}{64}$。 所求概率为： $P=\frac{15+6+1}{64}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}$。

方法二（对称法）： 抛掷 6 次硬币的所有可能结果中，“正面多于反面”与“反面多于正面”的概率相等。 正面与反面次数相等的概率为 $P(X=3)={\mathrm{C}}_6^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}$。 由对称性： $P(\text{正面多})=\frac{1-P(X=3)}{2}=\frac{1-\frac{5}{16}}{2}=\frac{11}{32}$。

故答案为：$\frac{11}{32}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$n$ 次独立重复试验中事件发生 $k$ 次的二项分布概率。
• 核心方法：互斥事件概率加法法则与对称分析法。
• 避坑指南：注意“多于”为严格大于，不能计入正面与反面各出现 3 次的平局情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的独立重复试验与伯努利试验模型。
• 结论推广：掷质地均匀硬币 $2n$ 次，正面比反面多的概率恒为 $\frac{1}{2}\left(1-\frac{{\mathrm{C}}_{2n}^n}{2^{2n}}\right)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷文-18 解-独立重复试验概率
• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率
• 2010-湖北卷文-13 填-条件概率