2011-重庆卷理-15 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及圆与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 设圆 $C$ 位于抛物线 $y^2=2x$ 与直线 $x=3$ 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 $C$ 的半径能取到的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设圆心为 $(x_0,y_0)$，半径为 $r$。由图形对称性，圆取最大半径时，其圆心必落在抛物线的对称轴（$x$ 轴）上，即 $y_0=0$，且圆与直线 $x=3$ 相切。
2. 由与直线 $x=3$ 相切可知，圆心坐标可表示为 $(3-r,0)$。
3. 圆位于抛物线内部需满足：圆上任意点到抛物线的距离非负，即圆上的点不能超出抛物线边界，圆与抛物线相切或相交于顶点。
4. 分析圆心 $(x_0,0)$ 到抛物线上动点 $(x,y)$ 距离的平方函数，结合顶点与切点情况确定极值状态。

✅【答案】

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$\sqrt{6}-1$

✍【详细解析】

Abstract

由区域的上下对称性，圆半径最大时，圆心必在 $x$ 轴上，设圆心为 $C(x_0,0)$，半径为 $r$。 为使半径最大，圆应向右侧边界充分扩张，即圆必与直线 $x=3$ 相切，故： $x_0+r=3⟹x_0=3-r$。 设抛物线 $y^2=2x$ 上任意一点为 $P(x,y)$，则 $P$ 到圆心 $C(x_0,0)$ 的距离的平方为： $|PC{|}^2=(x-x_0{)}^2+y^2=(x-x_0{)}^2+2x=x^2+2(1-x_0)x+x_0^2$（其中 $x⩾0$）。 圆包含在抛物线内部，等价于 $|PC{|}^2⩾r^2$ 对所有 $x⩾0$ 恒成立。 将 $f(x)=x^2+2(1-x_0)x+x_0^2$ 视为关于 $x⩾0$ 的二次函数，其对称轴为 $x=x_0-1$。

分情况讨论对称轴位置：

1. 若对称轴 $x_0-1⩽0$，即 $x_0⩽1$： 函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增， 其最小值为 $f(0)=x_0^2$。 要求 $f(0)⩾r^2⟹x_0^2⩾r^2⟹x_0⩾r$（因为 $x_0,r>0$）。 结合 $x_0=3-r$，得 $3-r⩾r⟹2r⩽3⟹r⩽\frac{3}{2}$。 此时 $x_0=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}>1$，与前提 $x_0⩽1$ 矛盾。

2. 若对称轴 $x_0-1>0$，即 $x_0>1$： 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0-1$ 处取得最小值： $f_{\min }=(x_0-1{)}^2+2(1-x_0)(x_0-1)+x_0^2=-(x_0-1{)}^2+x_0^2=2x_0-1$。 要求 $f_{\min }⩾r^2$，即： $2x_0-1⩾r^2$。 将 $x_0=3-r$ 代入，得： $2(3-r)-1⩾r^2⟹5-2r⩾r^2⟹r^2+2r-5⩽0$。 解关于 $r>0$ 的不等式： $r⩽\sqrt{1+5}-1=\sqrt{6}-1$。 验证条件：当 $r=\sqrt{6}-1$ 时，$x_0=3-(\sqrt{6}-1)=4-\sqrt{6}\approx 4-2.45=1.55>1$，满足条件。 切点横坐标 $x=x_0-1=3-\sqrt{6}\in (0,3)$，均在区间范围内。

综上所述，圆 $C$ 半径能取到的最大值为 $\sqrt{6}-1$。

故答案为：$\sqrt{6}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：解析几何中二次曲线的内切圆、二次函数闭区间最值与相切临界条件。
• 核心方法：函数距离法（将曲线间的包含关系转化为两点距离极值问题）。
• 避坑指南：容易错误地直接认为圆与抛物线在原点 $(0,0)$ 处相切（即误认为 $r=\frac{3}{2}$），忽略了当圆心横坐标较大时，圆与抛物线会在两侧相切（非原点）产生干涉。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高等几何中抛物线曲率圆与区域包容几何极值问题。抛物线 $y^2=2px$ 在原点处的曲率半径为 $p$，当圆心横坐标大于 $p$ 时，内切点将脱离原点分叉成对称的两个切点。
• 结论推广：圆心在 $x$ 轴上的圆 $(x-x_0{)}^2+y^2=r^2$ 在抛物线 $y^2=2px$ 内部，当 $x_0>p$ 时，圆与抛物线相切的充要半径公式为 $r=\sqrt{2p{x}_0-p^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性