2011-重庆卷理-17 解-独立重复试验

本题导读

本题考查独立重复试验与二项分布。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 某市公租房的房源位于 $A,B,C$ 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的. 求该市的任 4 位申请人中：

(1) 恰有 2 人申请 $A$ 片区的房源的概率；

(2) 申请的房源所在片区的个数 $\xi$ 的分布列与期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：每位申请人申请 $A$ 片区的概率均为 $\frac{1}{3}$，4 位申请人相互独立，满足二项分布 $X\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$，代入二项分布概率公式计算。
2. 第二问：明确随机变量 $\xi$ 的所有可能取值（1, 2, 3）。分别通过古典概型或分类计数求出 $\xi =1,\xi =2,\xi =3$ 的概率，列出分布列并根据期望公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算期望。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设每位申请人申请 $A$ 片区房源的事件为独立事件，其概率为 $p=\frac{1}{3}$。 设 4 位申请人中申请 $A$ 片区的人数为 $X$，则 $X\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$。 所以恰有 2 人申请 $A$ 片区的房源的概率为：

$$P(X=2)={\mathrm{C}}_4^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(1-\frac{1}{3}\right)}^{4-2}=6\times \frac{1}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{8}{27}.$$

(2) 4 位申请人申请片区的所有可能情况总数为 $3^4=81$ 种。 由题意，$\xi$ 的可能取值为 $1,2,3$。

• 当 $\xi =1$ 时，即 4 人全部申请同一个片区：

$$P(\xi =1)=\frac{{\mathrm{C}}_3^1}{3^4}=\frac{3}{81}=\frac{1}{27}.$$

• 当 $\xi =3$ 时，即 4 人申请了全部 3 个片区（必有 1 个片区有 2 人申请，其余 2 个片区各 1 人申请）：

$$P(\xi =3)=\frac{{\mathrm{C}}_3^1\cdot {\mathrm{C}}_4^2\cdot {\mathrm{A}}_2^2}{3^4}=\frac{3\times 6\times 2}{81}=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}=\frac{12}{27}.$$

• 当 $\xi =2$ 时，由对立事件概率之和为 1 可得：

$$P(\xi =2)=1-P(\xi =1)-P(\xi =3)=1-\frac{1}{27}-\frac{12}{27}=\frac{14}{27}.$$

（亦可用计数法验证：从 3 个片区选 2 个，4 人申请这 2 个片区的种数为 ${\mathrm{C}}_3^2(2^4-2)=3\times 14=42$，概率为 $\frac{42}{81}=\frac{14}{27}$）。

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{12}{27}$

故 $\xi$ 的数学期望为：

$$E(\xi )=1\times \frac{1}{27}+2\times \frac{14}{27}+3\times \frac{12}{27}=\frac{1+28+36}{27}=\frac{65}{27}.$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立重复试验概率模型、有限离散型随机变量分布列与数学期望。
• 核心方法：
• 求解复杂计数的概率时，优先利用总概率为 1 的性质间接求解较为繁琐的分支（如 $\xi =2$）。
• 第二类斯特林数 / 分组分配法处理“将 $n$ 个不同元素放入 $m$ 个不同盒子”的占位问题。
• 避坑指南：计算 $\xi =2$ 或 $\xi =3$ 时，切忌漏乘选片区的组合数 ${\mathrm{C}}_3^k$，且不可忽略人员的顺序或无序分组导致重复/遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的“球放盒子”概率模型（有限集映射的像集大小问题）。
• 结论推广：若将 $n$ 个不同元素随机分配到 $m$ 个不同集合中（每个集合被选概率均为 $\frac{1}{m}$），非空集合数 $\xi$ 的期望可通过指示变量法直接展开：引入示性变量 $I_i$（第 $i$ 个集合非空为 1，否则为 0），则 $E(\xi )={\sum }_{i=1}^{m}E(I_i)=m\left[1-{\left(1-\frac{1}{m}\right)}^n\right]$。本题代入 $m=3,n=4$ 即得 $3\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^4\right]=3\left(1-\frac{16}{81}\right)=\frac{65}{27}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2004-全国卷IV理-19 解-离散型随机变量的分布列
• 2006-江西卷理-18 解-离散型随机变量的数学期望