2011-陕西卷文-20 解-频率估计与路径决策

本题导读

本题考查频率分布表，以及用频率估计概率。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 如图，$A$ 地到火车站共有两条路径 $L_1$ 和 $L_2$，现随机抽取 $100$ 位从 $A$ 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）	$10\sim 20$	$20\sim 30$	$30\sim 40$	$40\sim 50$	$50\sim 60$
选择 $L_1$ 的人数	$6$	$12$	$18$	$12$	$12$
选择 $L_2$ 的人数	$0$	$4$	$16$	$16$	$4$

(1)试估计 $40$ 分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径 $L_1$ 和 $L_2$ 所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有 $40$ 分钟和 $50$ 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：（1）数出 $40$ 分钟以上的人数除以 $100$
2. 步骤2：（2）各段人数除以路径总人数
3. 步骤3：（3）比较两路径在限时内的到达频率

✅【答案】

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(1) $0.44$

(2) $L_1$ 各段频率依次为 $0.1$，$0.2$，$0.3$，$0.2$，$0.2$；$L_2$ 依次为 $0$，$0.1$，$0.4$，$0.4$，$0.1$

(3) 甲应选 $L_1$，乙应选 $L_2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$40$ 分钟内不能赶到火车站的人数即用时超过 $40$ 分钟的人数：选 $L_1$ 的有 $12+12=24$ 人，选 $L_2$ 的有 $16+4=20$ 人，合计 $44$ 人。

故所求概率的估计值为 $\frac{44}{100}=0.44$。

（2）选 $L_1$ 的共 $6+12+18+12+12=60$ 人，各段频率依次为 $\frac{6}{60}=0.1$，$\frac{12}{60}=0.2$，$\frac{18}{60}=0.3$，$\frac{12}{60}=0.2$，$\frac{12}{60}=0.2$。

选 $L_2$ 的共 $0+4+16+16+4=40$ 人，各段频率依次为 $0$，$\frac{4}{40}=0.1$，$\frac{16}{40}=0.4$，$\frac{16}{40}=0.4$，$\frac{4}{40}=0.1$。

（3）甲有 $40$ 分钟：选 $L_1$ 时 $40$ 分钟内到达的频率为 $\frac{6+12+18}{60}=0.6$，选 $L_2$ 时为 $\frac{0+4+16}{40}=0.5$。因 $0.6>0.5$，甲应选 $L_1$。

乙有 $50$ 分钟：选 $L_1$ 时为 $\frac{6+12+18+12}{60}=0.8$，选 $L_2$ 时为 $\frac{0+4+16+16}{40}=0.9$。因 $0.9>0.8$，乙应选 $L_2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率的计算与频率估计概率；分组数据的归一化（按路径各自总数）；用频率比较做决策

核心方法：两问口径不同：（1）除以总人数 $100$，（2）各按路径总人数 $60$ 或 $40$ 归一；（3）把”限时内到达频率”当成功概率比较大小

避坑指南：（1）与（2）的分母不同：$44$ 人对应总体 $100$，而路径频率要对 $60$（或 $40$）归一，混用分母是最大失分点；“最多用 $40$ 分钟”对应时间段 $10\sim 40$ 共三段，边界归属按表的分段（$40\sim 50$ 属于超时）；两人预算不同结论不同，不能共用同一选择。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：频率分布与决策题与 2011-湖南卷文-18、2012-安徽卷文-18、2012-陕西卷文-19 同族。

结论推广：推广：用频率估计概率时，样本分母必须与事件定义的总体一致；比较式决策（选路径）就是把每种方案的”限时内到达频率”当作成功概率，取大者。

方法推广：统计大题：先列清楚每一问的”分母口径”，再逐段计算；决策题的结论句要含”经计算，……应选……”的完整表述。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-18 解-频率分布与概率
• 2012-安徽卷文-18 解-频率分布表与总体估计
• 2012-陕西卷文-19 解-频率分布与条件概率