2011-陕西卷理-04 单-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） $(4^x-2^{-x}{)}^6(x\in \mathbf{R})$ 展开式中的常数项是 ()

A. $-20$　　　　　　B. $-15$　　　　　　C. 15　　　　　　D. 20

🔍【思路分析】

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1. 写出展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_6^r(4^x{)}^{6-r}(-2^{-x}{)}^r$。
2. 将底数统一化为 2 的幂次：$4^x=2^{2x}$，合并指数为 $2(6-r)x-rx=(12-3r)x$。
3. 令指数为 0 求得 $r$，代入计算常数项数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r(4^x{)}^{6-r}(-2^{-x}{)}^r=(-1{)}^r{\text{C}}_6^r(2^{2x}{)}^{6-r}(2^{-x}{)}^r$ $=(-1{)}^r{\text{C}}_6^r{2}^{2(6-r)x-rx}=(-1{)}^r{\text{C}}_6^r{2}^{(12-3r)x}$ 要使该项为常数项，必须满足 $x$ 的指数为 0，即： $12-3r=0⟹r=4$ 将 $r=4$ 代入通项中，得常数项为： $T_5=(-1{)}^4{\text{C}}_6^4{2}^0={\text{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开式通项 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 及同底数幂相乘法则。
• 核心方法：统一底数 $\to$ 整理指数为关于 $r$ 和 $x$ 的乘积式 $\to$ 令指数为零解 $r$。
• 避坑指南：
• 符号 $(-1{)}^r$ 不可遗漏，此处 $r=4$ 为偶数，结果为正；
• $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}$，避免误化为 $2^{x+2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修2-3二项式定理与必修一指数幂运算法则的经典交叉基础题。
• 结论推广：对 $(a^{mx}-a^{-nx}{)}^k$，其常数项对应 $r=\frac{mk}{m+n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2024-北京卷-04 单-二项式定理