2024-北京卷-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理展开式中特定项系数的求解，核心在于利用通项公式合并指数，或通过组合意义直接拼凑目标次幂.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）在 $(x-\sqrt{x}{)}^4$ 的展开式中， $x^3$ 的系数为 ()

A. $6$　　　　　　　B. $-6$　　　　　　　C. $12$　　　　　　　D. $-12$

🔍【思路分析】

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1. 常规代数法：写出二项展开式的通项公式，合并未知数的指数，令其等于目标次幂，解出参数 $r$，最后代回求出系数。
2. 组合意义法：从多项式乘法的本质出发，分析要凑出目标次幂，需要从几个括号中分别取出哪一项，直接用组合数进行分配计算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：通项公式法（通法）

根据二项式定理， $(x-\sqrt{x}{)}^4$ 展开式的第 $r+1$ 项通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot x^{4-r}\cdot (-\sqrt{x}{)}^r$ 将其化简，分离系数与字母部分： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot x^{4-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{\frac{r}{2}}=(-1{)}^r\cdot {\text{C}}_4^r\cdot x^{4-r+\frac{r}{2}}=(-1{)}^r\cdot {\text{C}}_4^r\cdot x^{4-\frac{r}{2}}$ 题目要求找 $x^3$ 的系数，因此令 $x$ 的指数等于 $3$： $4-\frac{r}{2}=3⟹\frac{r}{2}=1⟹r=2$ 将 $r=2$ 代回系数部分，得到 $x^3$ 的系数为： $(-1{)}^2\cdot {\text{C}}_4^2=1\cdot \frac{4\times 3}{2\times 1}=6$

方法二：组合意义法（考场速解）

从多项式乘法的角度来看， $(x-\sqrt{x}{)}^4$ 是 4 个 $(x-\sqrt{x})$ 连乘。 展开式中含 $x^3$ 的项，是由这 4 个括号中，任意取 2 个括号内的 $x$（此时提供次数 $x^2$ ），与剩余 2 个括号内的 $-\sqrt{x}$（此时提供次数 $(-\sqrt{x}{)}^2=x$ ）相乘得到的。因为 $x^2\cdot x=x^3$，恰好满足题意。 因此，展开式中含 $x^3$ 的项的具体组成为： ${\text{C}}_4^2\cdot (x{)}^2\cdot (-\sqrt{x}{)}^2=6\cdot x^2\cdot x=6x^3$ 所以，展开式中 $x^3$ 的系数为 $6$。

【答案】：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式的通项公式、组合数的计算。
2. 核心方法：通项公式法、组合拼凑法。
3. 避坑指南：在书写通项公式时，千万不要漏掉第二项自带的负号（即本题中的 $-\sqrt{x}$ ）。如果丢掉负号，当算出的 $r$ 为奇数时会导致系数正负号直接判断错误（本题 $r=2$ 偶数次幂恰好掩盖了该错误，但必须养成携带符号运算的良好习惯）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中二项式定理的基础应用例题，主要考查代数式的恒等变形能力与组合计数原理的基础应用。
2. 结论推广: 若求通用多项式 $(a{x}^p+b{x}^q{)}^n$ 展开式中 $x^m$ 的系数，可直接令 $(n-r)p+rq=m$ 解出 $r$（ $r$ 必须为 $0⩽r⩽n$ 的整数），代入 ${\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 即可快速出解。对于次数较小（如 $n⩽5$ ）且项式简单的二项式，组合分配“拼凑法”直接越过繁琐的代数化简，是实战中最推荐的提速手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-全国卷理-17