2011-陕西卷理-19 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 如图，从点 $P_1(0,0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y={\text{e}}^x$ 于点 $Q_1(0,1)$，曲线在 $Q_1$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_2$，再从 $P_2$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_2$，依次重复上述过程得到一系列点：$P_1,Q_1;P_2,Q_2;\cdots ;P_n,Q_n$，记 $P_k$ 点的坐标为 $(x_k,0)(k=1,2,\cdots ,n)$.

(1) 试求 $x_k$ 与 $x_{k-1}$ 的关系 $(2⩽k⩽n)$；

(2) 求 $|P_1{Q}_1|+|P_2{Q}_2|+|P_3{Q}_3|+\cdots +|P_n{Q}_n|$.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：

• 已知 $P_{k-1}$ 坐标为 $(x_{k-1},0)$，由垂线定义知 $Q_{k-1}$ 的坐标为 $(x_{k-1},{\text{e}}^{x_{k-1}})$；
• 函数 $y={\text{e}}^x$ 在 $x=x_{k-1}$ 处的导数值为斜率 $k={\text{e}}^{x_{k-1}}$；
• 写出在点 $Q_{k-1}$ 处的切线方程，令 $y=0$ 解得与 $x$ 轴交点 $P_k$ 的横坐标 $x_k$，从而得到递推关系。

2. 对 (2)：

• 由 (1) 的递推式得到 $\{x_n\}$ 为等差数列，求出通项 $x_k$；
• 线段长度 $|P_k{Q}_k|={\text{e}}^{x_k}$，代入通项发现构成等比数列；
• 套用等比数列前 $n$ 项和公式完成求和。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 曲线方程为 $y={\text{e}}^x$，对 $x$ 求导得： $y^{\prime }={\text{e}}^x$ 由题意，点 $P_{k-1}$ 的坐标为 $(x_{k-1},0)$。 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{k-1}$，所以点 $Q_{k-1}$ 的坐标为 $(x_{k-1},{\text{e}}^{x_{k-1}})$。 曲线在点 $Q_{k-1}$ 处的切线斜率为： $k_{\text{切}}={y^{\prime }|}_{x=x_{k-1}}={\text{e}}^{x_{k-1}}$ 所以切线方程为： $y-{\text{e}}^{x_{k-1}}={\text{e}}^{x_{k-1}}(x-x_{k-1})$ 该切线与 $x$ 轴交于点 $P_k(x_k,0)$，将 $(x_k,0)$ 代入切线方程，得： $0-{\text{e}}^{x_{k-1}}={\text{e}}^{x_{k-1}}(x_k-x_{k-1})$ 两边同除以 ${\text{e}}^{x_{k-1}}$（${\text{e}}^{x_{k-1}}>0$），得： $-1=x_k-x_{k-1}$ 即： $x_k=x_{k-1}-1(2⩽k⩽n)$

(2) 由 (1) 知，$x_k-x_{k-1}=-1(2⩽k⩽n)$。 又因为 $x_1=0$， 所以数列 $\{x_k\}$ 是首项为 0、公差为 $-1$ 的等差数列。 其通项公式为： $x_k=x_1+(k-1)d=0+(k-1)(-1)=1-k$ 对于任意点 $P_k(x_k,0)$ 与 $Q_k(x_k,{\text{e}}^{x_k})$，线段长为： $|P_k{Q}_k|={\text{e}}^{x_k}={\text{e}}^{1-k}={\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^{k-1}$ 记 $S=|P_1{Q}_1|+|P_2{Q}_2|+|P_3{Q}_3|+\cdots +|P_n{Q}_n|$，则： $S=1+\frac{1}{\text{e}}+{\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^{n-1}$ 这是首项为 1、公比为 $q=\frac{1}{\text{e}}(\frac{1}{\text{e}}\ne 1)$ 的等比数列的前 $n$ 项和。 由等比数列求和公式： $S=\frac{1\cdot \left[1-{\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{\text{e}}}=\frac{1-{\text{e}}^{-n}}{1-{\text{e}}^{-1}}=\frac{\text{e}(1-{\text{e}}^{-n})}{\text{e}-1}=\frac{\text{e}-{\text{e}}^{1-n}}{\text{e}-1}$ 故 $|P_1{Q}_1|+|P_2{Q}_2|+|P_3{Q}_3|+\cdots +|P_n{Q}_n|=\frac{\text{e}(1-{\text{e}}^{-n})}{\text{e}-1}$（或 $\frac{\text{e}-{\text{e}}^{1-n}}{\text{e}-1}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数几何意义、切线与坐标轴交点、等差数列通项公式、等比数列求和公式。
• 核心方法：
• 点斜式写出切线方程并求 $x$ 截距；
• 识别出指数函数底数代入等差数列后构成的等比数列。
• 避坑指南：
• $x_k=x_{k-1}-1$ 说明横坐标依次往左移动 1 个单位，即公差为 $-1$ 而非 $1$；
• 求和项数共有 $n$ 项，首项为 ${\text{e}}^0=1$，末项为 ${\text{e}}^{1-n}$，求和公式分母整理时勿漏提 $\text{e}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的“切线迭代序列（牛顿切线法构型）”，在数值分析中牛顿迭代格式为 $x_k=x_{k-1}-\frac{f(x_{k-1})}{f^{\prime }(x_{k-1})}$。对于 $f(x)={\text{e}}^x$，$\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}\equiv 1$，故步长恒为 1。
• 结论推广：对任意指数函数 $f(x)=A{\text{e}}^{kx}$，其任意点处的切线在 $x$ 轴上的投影长度（次切距）恒为常数 $\frac{1}{|k|}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比