2008-江苏卷-08 填-切线求参数

本题导读

本题考查对数曲线的切线：由切线斜率 $\frac{1}{2}$ 定切点，再代回直线定 $b$。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 设直线 $y=\frac{1}{2}x+b$ 是曲线 $y=\ln x$（$x>0$）的一条切线，则实数 $b$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 切线斜率 $\frac{1}{2}$ 即 $(\ln x{)}^{\prime }$ 在切点处的值，由此定切点横坐标。
2. 切点既在曲线上又在直线上，代入求 $b$。

✅【答案】

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$\ln 2-1$

✍【详细解析】

Abstract

设切点为 $(x_0,\ln x_0)$。曲线 $y=\ln x$ 在该处的切线斜率为 $\frac{1}{x_0}$。 由题意 $\frac{1}{x_0}=\frac{1}{2}$，得 $x_0=2$，切点为 $(2,\ln 2)$。 切点在直线 $y=\frac{1}{2}x+b$ 上，故 $\ln 2=\frac{1}{2}\times 2+b$，解得 $b=\ln 2-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与切线

核心方法：由切线斜率定切点，再代入直线

避坑指南：切点在曲线上也在直线上，两个条件都要用；斜率 $\frac{1}{x_0}$ 中的 $x_0$ 是切点横坐标，不是 $b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江苏卷第 9 题、2009 新课标Ⅰ文第 13 题同为切线定参。

结论推广：切线问题的核心方程组：切点在曲线上、斜率相等。

方法推广：先由导数值定切点，再代切点入直线，两步走不易错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线
• 2009-江西卷文-12 单-公切线与切线方程
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线