2012-上海卷文-04 填-直线的方向向量与倾斜角

本题导读

本题考查直线的方向向量，以及直线的倾斜角与斜率。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 若 $\vec{d}=(2,1)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，则 $l$ 的倾斜角的大小为$\underline{}$（结果用反三角函数值表示）.

🔍【思路分析】

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斜率 $k=\frac{1}{2}$，倾斜角为 $\arctan \frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$\arctan \frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

方向向量 $(2,1)$ 给出斜率 $k=\frac{1}{2}$。

设倾斜角为 $\alpha$（$0⩽\alpha <\pi$），则 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$。

由 $\frac{1}{2}\in (0,+\infty )$ 知 $\alpha$ 为锐角，故 $\alpha =\arctan \frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线的方向向量与斜率；倾斜角的范围与反三角表示

核心方法：方向向量纵横比即斜率，再由范围取反三角

避坑指南：倾斜角范围是 $[0,\pi )$：斜率为正对应锐角，直接写 $\arctan k$；若斜率为负则应写 $\pi -\arctan |k|$，别混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方向向量与倾斜角入口题，与 2013 年上海卷文第 4 题同族（上海卷常考）。

结论推广：方向向量 $(a,b)$（$a\ne 0$）对应斜率 $\frac{b}{a}$；倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha =k$ 且 $\alpha \in [0,\pi )$。

方法推广：由向量求倾斜角三步：算斜率 → 判范围 → 写反三角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-14 填-直线与圆
• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移
• 2013-上海卷文-04 填-二阶行列式