2009-上海卷文-15 单-直线平行定参

本题导读

考查直线平行。$(k-3)(k-5)=0$ 得 $k=3$ 或 $5$，两值均不重合，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知直线 $l_1:(k-3)x+(4-k)y+1=0$ 与 $l_2:2(k-3)x-2y+3=0$ 平行，则 $k$ 的值是 ()

A. $1$ 或 $3$　　　　B. $1$ 或 $5$　　　　C. $3$ 或 $5$　　　　D. $1$ 或 $2$

🔍【思路分析】

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1. 平行条件：$(k-3)\times (-2)-(4-k)\times 2(k-3)=0$，即 $-2(k-3)(k-5)=0$，$k=3$ 或 $5$。
2. $k=3$：$l_1:y=-1$、$l_2:y=\frac{3}{2}$，平行不重合；$k=5$：$l_1:2x-y+1=0$、$l_2:4x-2y+3=0$，$\frac{1}{3}\ne \frac{1}{2}$ 不重合。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$l_1\parallel l_2$ 要求 $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$：$(k-3)\times (-2)-2(k-3)\times (4-k)=0$，即 $-2(k-3)[1+(4-k)]=0$，$(k-3)(k-5)=0$，$k=3$ 或 $k=5$。 检验重合：$k=3$ 时 $l_1:y=-1$，$l_2:y=\frac{3}{2}$，平行不重合；$k=5$ 时 $l_1:2x-y+1=0$，$l_2:4x-2y+3=0$，$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{1}{2}\ne \frac{C_1}{C_2}$，平行不重合。 故 $k=3$ 或 $5$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两条直线的位置关系

核心方法：平行系数方程 + 排除重合

避坑指南：$k=3$ 时 $l_1$ 的 $x$ 系数为 $0$ 依然合法（是水平线）；平行条件解出的根必须逐一检验”不重合”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参直线平行是位置关系题的基本型。

结论推广：$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$，再验证 $B_1{C}_2-B_2{C}_1\ne 0$ 或 $A_1{C}_2-A_2{C}_1\ne 0$。

方法推广：$k=3$ 使两个一次因式同时为零（$k-3$ 出现两次），这类”重根”最容易漏解或误舍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-16 填-平行线倾斜角
• 2012-上海卷文-04 填-直线的方向向量与倾斜角
• 2014-福建卷文-06 单-直线方程