2012-上海卷文-14 填-递推数列与不动点

本题导读

本题考查数列的递推关系，以及函数迭代与不动点。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 已知 $f(x)=\frac{1}{1+x}$，各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+2}=f(a_n)$. 若 $a_{2010}=a_{2012}$，则 $a_{20}+a_{11}$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$a_{2010}=a_{2012}$ 迫使偶数项全为不动点 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；奇数项递推得 $a_{11}=\frac{8}{13}$，和为 $\frac{3+13\sqrt{5}}{26}$。

✅【答案】

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$\frac{3+13\sqrt{5}}{26}$

✍【详细解析】

Abstract

递推 $a_{n+2}=f(a_n)=\frac{1}{1+a_n}$ 把数列分成奇数项与偶数项两条独立链。

由 $a_{2010}=a_{2012}=f(a_{2010})$ 知 $a_{2010}$ 是 $f$ 的不动点：$x=\frac{1}{1+x}$，即 $x^2+x-1=0$，$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（取正）。

偶数项链满足 $a_{2k+2}=f(a_{2k})$，且 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调（$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}\ne 0$ 为单射），由 $a_{2010}=a_{2012}$ 逐层回退得 $a_2=a_4=\cdots =a_{2010}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故 $a_{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

奇数项链：$a_1=1$，$a_3=\frac{1}{2}$，$a_5=\frac{2}{3}$，$a_7=\frac{3}{5}$，$a_9=\frac{5}{8}$，$a_{11}=\frac{8}{13}$。

故 $a_{20}+a_{11}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{8}{13}=\frac{13\sqrt{5}-13+16}{26}=\frac{3+13\sqrt{5}}{26}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列的奇偶分链；函数的不动点；单射与迭代回退

核心方法：先由相邻两项相等识别不动点，再用单射性回退整条偶数链，奇数链直接递推

避坑指南：$f$ 是单射才允许”由 $f(a_{2k})=f(a_{2k-2})$ 得 $a_{2k}=a_{2k-2}$“逐层回退；不动点方程 $x^2+x-1=0$ 的负根要舍；$a_{11}$ 是奇数链的第 $6$ 项，别数错层数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推数列与不动点综合题，与 2013 年上海卷文第 22 题、2014 年上海卷文第 23 题同族。

结论推广：$f(x)=\frac{1}{1+x}$ 的不动点为黄金分割数 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；$a_{2k-1}=\frac{F_{2k-2}}{F_{2k-1}}$（斐波那契数列之比）。

方法推广：递推数列问题先找周期性或不动点，再分奇偶链处理；“某两项相等”的信息通常用于锁定不动点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-22 解-递推数列形态
• 2014-上海卷文-23 解-数列不等式
• 2013-上海卷文-15 单-反函数求值