19.09 函数迭代与不动点问题

🟦 奇偶数列

1. 函数迭代和数列的关系

已知函数 $y=f(x)$ 满足递推关系 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}=\mathbf{f}({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})$ 则有迭代形式： ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}=\mathbf{f}({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})={\mathbf{f}}_2({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}-1})=\cdots ={\mathbf{f}}_{\mathbf{n}}({\mathbf{a}}_1)$ 函数 $y=f(x)$ 通过反复迭代生成数列 $\{a_n\}$（也可记为 $\{b_n\},\{x_n\}$），数列的每一项都由函数迭代得到。

函数迭代与数列核心结论

1. 数列递推式与函数迭代式法则一致，因此数列任意项对应的点 $({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}},{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1})$ 都在函数 $y=f(x)$ 图象上。

2. 数列通项是函数对首项 $a_1$ 迭代 $\mathbf{n}-1$ 次的结果： ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{f}}_{\mathbf{n}-1}({\mathbf{a}}_1)$ 迭代产生的因变量，将作为下一次迭代的自变量。

3. 首项 ${\mathbf{a}}_1$ 决定整个数列；迭代中重复出现的固定值，称为不动点。

2. 函数的迭代图象——蛛网图（折线图）

函数迭代图象由 $\mathbf{y}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 与直线 $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ 共同决定，作图步骤：

1. 在同一坐标系画出 $y=f(x)$,$y=x$，求出不动点（两函数交点）。

1. 确定不动点区间，放大对应区域，选取数列起始点 ${\mathbf{a}}_1$。

2. 过 $a_1$ 作 $x$ 轴垂线，交 $y=f(x)$ 于点 $({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2)$。

3. 过 $(a_1,a_2)$ 作 $x$ 轴平行线，交 $y=x$ 于点 $({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_2)$。

4. 过 $(a_2,a_2)$ 作 $x$ 轴垂线，交 $y=f(x)$ 于点 $({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{a}}_3)$。 重复步骤4、5，依次得到点列，即可判断 $({\mathbf{a}}_{\mathbf{n}},{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1})$ 的最终趋势（收敛/发散/周期震荡）。

3. 蛛网图与数列的单调性

定理1（上凸型）

若 $y=f(x)$ 在单调增区间内有两个不动点 $x_1,x_2(x_1<x_2)$，且两不动点之间图象上凸： - 在区间 $(x_1,x_2)$ 内：数列 $\{a_n\}$ 递增，即 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}>{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ - 在区间外：数列 $\{a_n\}$ 递减，即 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}<{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$

定理2（下凹型）

若 $y=f(x)$ 在单调增区间内有两个不动点 $x_1,x_2(x_1<x_2)$，且两不动点之间图象下凹：

• 在区间 $(x_1,x_2)$ 内：数列 $\{a_n\}$ 递减，即 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}<{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$

• 在区间外：数列 $\{a_n\}$ 递增，即 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}>{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$

单调性总结

当 $y=f(x)$ 单调增区间处于上凸内或下凹外，迭代起点 $a_1$ 在此区域时： ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}>{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$ 当迭代起点 $a_1$ 处于单调增区间的上凸外或下凹内时： ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}<{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$

4. 数列的极限（蛛网图结论）

1. 若数列对应曲线单调上凸：迭代点 $(a_n,a_{n+1})$ 无限靠近较大不动点 $x_2$，即 ${\lim }_{\mathbf{n}\to +\infty }{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{x}}_2$

2. 若数列对应曲线单调下凹：迭代点 $(a_n,a_{n+1})$ 无限靠近较小不动点 $x_1$，即 ${\lim }_{\mathbf{n}\to +\infty }{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{x}}_1$

1. $\mathbf{y}=\mathbf{a}(\mathbf{x}-\mathbf{h}{)}^2+\mathbf{h}(\mathbf{a}>0)$（顶点为不动点的抛物线）：$\underset{\mathbf{n}\to +\infty }{\lim }{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{h}$

2. $\mathbf{y}=\mathbf{a}(\mathbf{x}-\mathbf{h}{)}^2+\mathbf{h}(\mathbf{a}<0)$（顶点为不动点的抛物线）：$\underset{\mathbf{n}\to +\infty }{\lim }{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{h}$

3. $\mathbf{y}=\sqrt{\mathbf{ax}+\mathbf{b}}(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$（横着的抛物线）：$\underset{\mathbf{n}\to +\infty }{\lim }{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{x}}_1$

4. $\mathbf{y}=\frac{\mathbf{ax}+\mathbf{b}}{\mathbf{cx}+\mathbf{d}}(\mathbf{ad}>\mathbf{bc})$（二、四象限平移反比例函数）：$\underset{\mathbf{n}\to +\infty }{\lim }{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{x}}_2$

5. 摆动数列 & 导数构造单调性解题

核心定义 由递减函数（反比例型）迭代生成摆动数列： $f(x)$ 为减函数，与 $y=x$ 交于不动点；数列奇数项、偶数项单调性相反，但均螺旋趋近不动点，极限为不动点。

两种摆动模式

1. 模式1： ${\mathbf{a}}_1<{\mathbf{a}}_3<{\mathbf{a}}_5<\cdots <{\mathbf{a}}_{2\mathbf{n}-1},{\mathbf{a}}_2>{\mathbf{a}}_4>{\mathbf{a}}_6>\cdots >{\mathbf{a}}_{2\mathbf{n}}$

2. 模式2： ${\mathbf{a}}_1>{\mathbf{a}}_3>{\mathbf{a}}_5>\cdots >{\mathbf{a}}_{2\mathbf{n}-1},{\mathbf{a}}_2<{\mathbf{a}}_4<{\mathbf{a}}_6<\cdots <{\mathbf{a}}_{2\mathbf{n}}$